相似の倍率：長さ・面積・体積を分けて読む

比の順序と、対応する長さをそろえる

一つ目と二つ目の図形の長さの比が3：4なら、一つ目から二つ目への倍率は4/3です。比の3と4は、同じ役割を持つ辺などの対応する長さを比べています。一方の底辺と他方の斜辺を、対応を確かめず組み合わせることはできません。

相似なら、辺だけでなく、対応する高さや対角線も同じ倍率で変わります。角度は保たれ、角度の数値をその倍率で掛けるわけではありません。二つ目から一つ目へ戻るなら倍率は3/4になります。どちらからどちらへ比べたかを、計算の途中でも保ってください。

中点を結ぶ線分を、半分の大きさの対応辺として見る

最初の例題では、三角形の二辺の中点を結ぶ線分を考えます。説明のため、二辺が出会う頂点をA、残りをB、C、ABとACの中点をM、Nと名づけます。これは本文で使う名前で、下の例題の図に文字が表示されているという意味ではありません。AからB、Cへ進む横と縦の移動を、それぞれ半分にするとM、Nへ着きます。

MからNまでの横の差と縦の差も、BからCまでの差の半分です。どちらの方向の差も同じ割合で縮むので、MNはBCに平行で長さは半分になります。例えば横の差は「Cの横座標の半分−Bの横座標の半分」で、「元の横座標の差の半分」と等しくなります。縦についても同じです。図が横向きであることに頼らない説明です。

三角形AMNは三角形ABCをAを中心に半分へ縮小した形です。平行という向きの関係と、長さが半分という大きさの関係を両方答えます。片方だけ合う選択肢では足りません。中点が二つあるから線分が二倍、という数え方でもありません。

面積には、長さの倍率が二つ入る

一辺ごとの倍率をkとすると、縦p・横qの長方形は縦kp・横kqになります。面積は(kp)×(kq)で、元のp×qのk²倍です。三角形でも底辺と垂直な高さがそれぞれk倍になるので、底辺×高さ÷2の中へ二つの倍率が入ります。

多角形は三角形へ分けて考えられます。各三角形の面積が同じk²倍なら、足し合わせた面積もk²倍です。曲線を含む通常の図形でも、細かな長方形で内側と外側から面積を近似すると、各長方形と近似のすき間の面積が同じk²倍になります。すき間を小さくしていくことで、図形全体にもこの倍率が引き継がれます。

二番目の例題の長さの比は3：4です。面積の比は3²：4²＝9：16になります。27：64は三乗しており、相似な立体の体積へ使う比です。3：4のままでは一方向の長さの比を残しています。6：16のように片方だけ二倍、もう片方を二乗とする操作も、同じ規則で両方の面積を比べていません。

体積には、三つの方向の倍率が入る

縦p・横q・高さrの直方体を、すべての方向へk倍にすると、体積は(kp)×(kq)×(kr)です。元のp×q×rに対してk³倍になります。自作の比較例として2 cm×3 cm×4 cmの直方体を二倍にすると、4 cm×6 cm×8 cmです。体積は24 cm³から192 cm³となり、二倍ではなく八倍です。

曲面のある通常の立体では、小さな直方体で内側と外側から体積を近似して考えられます。一様に拡大すると、各小直方体の体積と、内外の近似の差はk³倍です。近似の差を小さくしていくことで、元の立体と拡大した立体の体積にも同じ関係が残ります。曲面を有限個の直方体でぴったり埋め尽くした、と主張しているわけではありません。

三番目の例題は長さの比が1：3なので、体積の比は1³：3³＝1：27です。1：9は二乗した面積の比、1：3は元の長さの比に当たります。3：1は比べる順序も逆です。最初の中点の例題、次の面積の例題、最後の体積の例題では、与えられた比自体が違うことにも注意しましょう。

一方向だけの引き伸ばしと、単位換算を区別する

k²やk³を使えるのは、すべての対応する長さが同じ倍率で変わる条件の下です。自作の2 cm×3 cmの長方形を4 cm×3 cmへ変えると、横方向だけが二倍で、もう一方向は変わりません。面積は6 cm²から12 cm²へ二倍になりますが、この二つの長方形は相似ではありません。一つの辺が二倍という情報だけでは、面積を四倍と決められません。

一様に二倍なら2 cm×3 cmは4 cm×6 cmになり、面積は24 cm²です。周の長さは各辺を足す量なので10 cmから20 cmへ二倍です。面積と周の長さは、同じ拡大でも異なる倍率になります。半分へ縮める場合も同様で、長さは1/2倍、面積は1/4倍、体積は1/8倍です。

単位換算は、同じ量を別の単位で書く操作です。2 cmを20 mmと書いても、長さそのものは増えません。今回の拡大・縮小は、同じ単位で測った図形の長さや面積が変わる話です。数字が変わった理由が、形の拡縮なのか、単位の変更なのかを先に分けます。

三例題を、長さ・面積・体積の順に説明し直す

下の三例題は、中点を結ぶ線分、相似な平面図形の面積比、相似な立体の体積比の順です。解答を開く前に、求める量と比べる順序を書いてください。解説の後は伏せて、平行と半分になる理由、二つの長さの積、三つの長さの積を自分のことばで説明し直します。元の問題や図の条件は変えません。

対応する底辺と高さに迷ったら、前提記事「形の条件を読み解く図形の基礎」へ戻れます。比の向きは「全体を決めて読む分数と比」で確認できます。次は関連記事「量を変えずに表し直す単位の計算」と、量が変わる今回の拡縮を比べてみましょう。「未知の数に役割をつけて読む式」では、kを倍率、元の面積をSとしたときのk²Sのように、文字の役割を分けて読む入口を確認できます。練習設定は中学段階・標準の「図形」で、この三例題以外の一致する問題も含みます。