# 数学解説改訂87 v3：独立全文照合後の作者修復 修復UTC 2026-10-05T16:41:33.511Z / JST 2026-10-06T01:41:33.511+09:00。この版はsighted repairであり、新しい初回blindとは扱わない。旧v2原稿・初回伏せ入力・独立firstsolveは不変。初回の制作時刻は下記へ保持する。 作者：/root/explanation_author_math87。制作・実読確認 UTC 2026-10-05T16:09:22.444Z / JST 2026-10-06T01:09:22.444+09:00。 この資料は現425問から140問の解説を改訂するための新しい数学的導出です。問題文・選択肢・答え・ID・family・図・分類・原出典メタデータを変えません。問題・データ・価格・試行は既存の架空条件です。外部の最新事実や実測教育効果は扱いません。作者の検算は独立レビューではありません。日英の旧原稿・checkedAt・承認を保持し、独立担当は正答を含まない別入力を先に解いた後でこの原稿を照合します。 ## 共通の証明を省略しないための補足 対数と実数のべき：正の実数について底10のべきでx=10ᵘ,y=10ᵛと書けば、積xy=10^(u+v)から積の対数の和を導く。負の指数はaⁿa⁻ⁿ=1を満たす逆数。有限小数の既約分母は10ᵏ=2ᵏ5ᵏを割る必要があり、2と5以外の素因数は残せない。整数の立方の2の素因数指数は必ず3の倍数なのでp³=2q³は不可能。 回転による正弦加法：水平単位ベクトルは角β回転で(cosβ,sinβ)、垂直単位ベクトルは(−sinβ,cosβ)へ移る。線形結合cosα(1,0)+sinα(0,1)を回転すると、縦成分はcosα sinβ+sinα cosβ。これは角α+βの単位円点の縦座標である。 微分則の根拠：u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)にu(x+h)v(x)を加減すると、差商はu(x+h)[v(x+h)−v(x)]/h+v(x)[u(x+h)−u(x)]/h。微分可能なら連続なので極限はuv′+vu′。合成g(u(x))の差商は内部増分k=u(x+h)−u(x)で外側差商と内部差商の積に分け、極限はg′(u(x))u′(x)。内部増分0が生じても微分の一次近似で同じ結論となる。定積分の基本定理は短い区間の平均値の極限で示す。 三角形と円の幾何：三角形の頂点を通る反対辺の平行線と錯角から内角和180°。円周角の半角関係は中心に結んで出来る二等辺三角形の底角から得られる。円周角の頂点から中心を通る直径を補助線にすると、二つの部分で半角関係を示し、位置に応じて足すか引くかして同じ弧の一般形へ戻せる。円錐の1/3は高さ方向の相似断面から導出できる。半径3、高さ4の円錐で頂点からzの断面は半径3z/4なので、∫₀⁴π(3z/4)²dz=(9π/16)×64/3=12π。 核と階数：核の基底を定義域全体の基底へ拡張する。追加された基底の像は像空間の基底になるため、定義域の次元=核の次元+階数。異なる固有値の非零固有ベクトルが定数倍なら同じ非零方向へ二つの異なる倍率を同時に与える矛盾が生じる。二次元ではその二ベクトルを基底に取れば対角表示が得られる。 分散と標本：Var(X)=E[(X−EX)²]、Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]。中心化して二乗展開すると和の分散に2Covが現れる。独立なら交差共分散が0。独立同分布の平均の分散はσ²/n。不偏分散の恒等式Σ(Xᵢ−X̄)²=Σ(Xᵢ−μ)²−n(X̄−μ)²を展開で確かめ、期待値はnσ²−σ²=(n−1)σ²。Beta密度の指数はパラメータより1小さい。 木と対角化：二頂点以上の有限木の最長単純道の端点は葉である。隣接枝が他にあれば閉路またはより長い道を作り矛盾。葉を除いても残りは連結かつ閉路なしなので、辺数n−1の帰納法が成立。カントールの対角集合DはSの部分集合なので終域P(S)に必ず属する。全射ならその原像dがあるが、定義をdへ適用するとd∈D⇔d∉Dとなる。 ## 実読した既存自作資料の原本SHA - docs/quiz/math-authoring.md SHA-256 fbdd98ed55ce0aaa29327f45c8d7863d9dc28342b26278384f8030ebdc25bd72 - docs/quiz/math-basics-20261004-authoring.md SHA-256 873f356dac459bf9f97537d3879f2e1e0c446809b3acf129545c6a78173b0ff3 - docs/quiz/math-daily-20261004-data-authoring.md SHA-256 6b41fe927c5b8932669a4aea6aa0810d52adc0c3e54dd56b110f7dc50cc6eac9 - docs/quiz/math-en-20261004-authoring.md SHA-256 87fb643ec59a5c90a55f3d04c3e049ed70770fe5f3411f28ade649a67c81efcd - docs/quiz/article-authoring-20261004-math-proof.md SHA-256 fb1c1ca6a8a64835dc4dc7cf541a800dbfcdaa21c784d38e3f83418c61ea5e3f - docs/quiz/article-authoring-20261004-bank-excerpts.md SHA-256 6cbb1bc325b5cdd1cd1448477ed692812ede00305f87ad31c3ae0884df30c7c5 - docs/quiz/article-authoring-20261005-math-proof.md SHA-256 c4ba121667216ff6187f5feb55787cbbeb10b0c25947e9a1038a3bb417075283 - docs/quiz/article-authoring-20261005-bank-excerpts.md SHA-256 04171db0f1433ff037e9fa3fcae70b680b7955be95da55f4afb87a89fd56249e - docs/quiz/articles/20261005-daily-math-common-factors/derivation.md SHA-256 f150d1dbe034f022fef215b124aefa0bd48a24ef5477134bf449fa17ad044675 - docs/quiz/articles/20261005-daily-math-common-factors/approved-bank-excerpts.json SHA-256 ce64d2ce5052a29ad5c16950c6cab893f1bee002e27a2c7fc4c900d8838d78e3 原本の式・定義と元の個別導出を実読しました。出典メタデータの外部資料は学習範囲の位置付けであり、個別値の根拠ではありません。新しい詳細は本書の証明と各問の明示検算へ束縛します。既存外部リンクの再取得をしたとは主張しません。 ### ma-0002 — ma-decimal-order 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, basic。 条件：0.7、0.65、0.09、0.705で最大は？ 自作導出：位をそろえると0.700、0.650、0.090、0.705です。小数第1位が7の二つを比べ、第3位が0より5の方が大きいので、最大は0.705です。末尾に0を補っても値は変わりません。小数の桁数が多いだけで大きいと判断するのではなく、同じ位から順に比べます。 選択肢の個別検算： - a「0.09」：0.09 ≠ 導出値 0.705。 - b「0.705」：0.705 ＝ 導出値 0.705。 - c「0.7」：0.7 ≠ 導出値 0.705。 - d「0.65」：0.65 ≠ 導出値 0.705。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：そろえた全数値と最初に異なる位を明示。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Write the numbers with three decimal places: 0.700, 0.650, 0.090 and 0.705. Comparing place by place shows that 0.705 is largest. ### ma-0005 — ma-multiply-meaning 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, basic。 条件：1袋に6個入った袋が4袋。総数を表す式は？ 自作導出：一袋の6個が四袋あるので、6＋6＋6＋6＝6×4＝24個です。6は一袋分の個数、4は袋の数を表し、この二つを掛けると総数になります。6＋4は袋の数を中身の個数へ足してしまう式です。引き算や割り算でも、四袋分を合わせた量は表せません。 選択肢の個別検算： - a「6×4」：6×4＝24で総数。 - b「6＋4」：6＋4＝10、総数24でない。 - c「6−4」：6−4＝2、総数24でない。 - d「6÷4」：6÷4＝1.5、総数24でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：等しいまとまりと式の対応を具体化。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are four equal groups of six, so multiply 6 by 4. Addition of 6 and 4 would count neither the groups nor their contents correctly. ### ma-0006 — ma-division-remainder 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, basic。 条件：29個を1箱6個ずつ詰める。満杯の箱数と余りは？ 自作導出：29＝6×4＋5なので、満杯は4箱、余りは5個です。5個では6個入りの箱をもう一つ満杯にできません。余りは箱一つ分より小さくなるまで詰めます。「全部を入れるのに必要な箱数」なら5箱ですが、今回は満杯の箱の数を聞いています。 選択肢の個別検算： - a「3箱、11個」：6×3＋11＝29だが余り11≧6。 - b「4箱、5個」：6×4＋5＝29、0≦5＜6。 - c「5箱、1個」：6×5＋1＝31で総数違い。 - d「4箱、3個」：6×4＋3＝27で総数違い。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：満杯と全個数収納の目的差を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：29 = 6 × 4 + 5. Four boxes are full and five items remain. A remainder must be smaller than the six items needed for another full box. ### ma-0010 — ma-fraction-part 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, basic。 条件：同じ大きさの8切れに分けたパンの3切れは全体の？ 自作導出：八つに等分したパンでは、一切れが全体の1/8です。三切れを選ぶので1/8＋1/8＋1/8＝3/8になります。分母8は全切れ数、分子3は選んだ切れ数です。残った五切れを表す5/8や、選んだ部分と残りを比べる3/5は、聞かれた割合と比べる相手が違います。 選択肢の個別検算： - a「5/8」：5/8は残り。 - b「3/8」：3/8は全体中の選んだ部分。 - c「8/3」：8/3は全体数と選択数を逆転。 - d「3/5」：3/5は選択対残り。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：分母の全体と選択肢の参照相手を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The denominator counts all eight equal pieces. The numerator counts the three selected pieces, giving 3/8. ### ma-0011 — ma-fraction-equivalence 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, standard。 条件：2/3と等しい分数は？ 自作導出：2/3の分子と分母を同じ4倍にすると、（2×4）/（3×4）＝8/12です。分子と分母が共に4倍なので、割り算の値は変わりません。一つの切れをさらに四等分すると、選んだ部分も全体も四倍の個数で数え直せます。分子だけ、または分母だけを変えると別の大きさになります。 選択肢の個別検算： - a「6/8」：6/8＝3/4≠2/3。 - b「3/2」：3/2は逆数。 - c「8/12」：8/12＝2/3。 - d「2/6」：2/6＝1/3。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：等価分数の理由を等分の意味で補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Multiplying both numerator and denominator by 4 gives 8/12. Scaling both by the same nonzero number preserves the fraction's value. ### ma-0012 — ma-fraction-add 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, standard。 条件：1/4＋1/6は？ 自作導出：1/4＝3/12、1/6＝2/12と通分すると、3/12＋2/12＝5/12です。足す前に、一切れ分の大きさをそろえるために共通の分母を使います。そろえた後は1/12が合計5個あると数えるので、分母12はそのままです。分子と分母を別々に足した2/10は、同じ大きさの切れを合わせる計算になりません。 選択肢の個別検算： - a「2/10」：2/10＝1/5≠5/12。 - b「1/10」：1/10≠5/12。 - c「7/12」：7/12≠5/12。 - d「5/12」：5/12が通分後の和。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：通分する理由と分母を保つ理由を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Use denominator 12: 1/4 = 3/12 and 1/6 = 2/12. Their sum is 5/12. ### ma-0013 — ma-fraction-multiply 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, standard。 条件：2/3の量の3/5は？ 自作導出：「2/3の量の3/5」は、2/3を五等分したうち三つを取ることです。（2/3）÷5×3＝6/15＝2/5になります。初めの全体を十五等分して考えると、2/3は十切れで、その3/5は六切れです。分数を足すのではなく、もとの量に対してさらに割合を取るので掛け算を使います。 選択肢の個別検算： - a「2/5」：2/5＝6/15。 - b「5/8」：5/8は分子分母を加えた誤り。 - c「6/5」：6/5＞2/3、部分量でない。 - d「5/2」：5/2＞2/3、部分量でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：入れ子の割合と途中約分を示す。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Taking a fraction of an amount means multiplying: (2/3) × (3/5) = 6/15 = 2/5 of the original whole. ### ma-0014 — ma-fraction-divide 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, standard。 条件：3/4 Lを1/8 Lずつ分けると何杯？ 自作導出：3/4 Lは、1/8 Lを単位にすると6/8 Lです。1/8 Lが六つ入るので、6杯に分けられます。式では（3/4）÷（1/8）＝（3/4）×8＝6です。答えに一杯分の量を掛けて6×1/8＝3/4 Lへ戻るかを確認すると、分ける量と杯数の取り違えを防げます。 選択肢の個別検算： - a「12杯」：12 ≠ 導出値 6。 - b「6杯」：6 ＝ 導出値 6。 - c「3杯」：3 ≠ 導出値 6。 - d「8杯」：8 ≠ 導出値 6。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：除算を共通単位と掛け戻しで説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Divide the total by the size of one portion: (3/4) ÷ (1/8) = (3/4) × 8 = 6 portions. ### ma-0015 — ma-decimal-fraction 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, basic。 条件：0.125を既約分数にすると？ 自作導出：0.125は千分の125なので125/1000です。分子と分母を125で割ると1/8になります。分子1と分母8には1以外の共通の約数がないので、これで既約分数です。1÷8＝0.125と小数へ戻しても確かめられます。小数の数字125をそのまま分母にする1/125とは違います。 選択肢の個別検算： - a「1/5」：1/5＝0.2。 - b「1/125」：1/125＝0.008。 - c「1/8」：1/8＝0.125。 - d「1/4」：1/4＝0.25。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：既約の定義と小数への逆確認を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：0.125 = 125/1000. Dividing numerator and denominator by 125 gives 1/8. ### ma-0017 — ma-ratio-share 旧revision 1 / topic 数と計算 / elementary, standard。 条件：30個を2：3に分ける。小さい方は？ 自作導出：比2：3は小さい側二単位と大きい側三単位を表すので、全体は五単位です。一単位は30÷（2＋3）＝6個、小さい側は6×2＝12個になります。大きい側18個と合わせて30個、12：18＝2：3と確認できます。小さい側は全体の2/5であり、全体の2/3ではありません。 選択肢の個別検算： - a「12個」：12 ＝ 導出値 12。 - b「10個」：10 ≠ 導出値 12。 - c「15個」：15 ≠ 導出値 12。 - d「18個」：18 ≠ 導出値 12。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：比の全体と掛け戻しを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 2 + 3 = 5 ratio units. Each unit is 30 ÷ 5 = 6 items, so the smaller share is 2 × 6 = 12 items. ### ma-0026 — ma-reciprocal 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, basic。 条件：−2/5の逆数は？ 自作導出：逆数とは、もとの数に掛けると1になる数です。（−2/5）×（−5/2）＝10/10＝1なので、逆数は−5/2です。分子と分母を交換しても負の符号は残します。5/2を掛けると−1になってしまい、逆数の条件を満たしません。 選択肢の個別検算： - a「2/5」：（−2/5）×（2/5）＝−4/25≠1。 - b「−5/2」：積1。 - c「5/2」：積−1。 - d「−2/5」：積4/25。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：定義を実際の積で確認。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The reciprocal must multiply the original number to give 1. (−2/5) × (−5/2) = 1, so it is −5/2. ### ma-0028 — ma-factorization 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：84の素因数分解は？ 自作導出：84＝4×21＝2×2×3×7＝2²×3×7です。素因数分解は、積が84になるだけでなく、すべての因数が素数である必要があります。3×4×7も値は84ですが、4をさらに2×2へ分けるので未完成です。2²は2×2であり、2を二倍するという記号ではありません。 選択肢の個別検算： - a「2×3²×7」：2×9×7＝126。 - b「2³×7」：8×7＝56。 - c「3×4×7」：積84だが4が素数でない。 - d「2²×3×7」：積84、因数2/3/7が全て素数。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：値と素因数分解の完成を別々に点検。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：84 = 4 × 21 = 2² × 3 × 7. All factors in a prime factorization must be prime; a factor of 4 is not yet fully factored. ### ma-0029 — ma-gcd 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：18と30の最大公約数は？ 自作導出：18＝2×3²、30＝2×3×5なので、両方に使える素因数は2と3が一つずつです。共通に割れる最大の数は2×3＝6になります。3を二つ使うと30を割れず、5を入れると18を割れません。18÷6＝3、30÷6＝5と確かめます。3も公約数ですが、6より小さいので最大ではありません。 選択肢の個別検算： - a「6」：6 ＝ 導出値 6。 - b「3」：3 ≠ 導出値 6。 - c「12」：12 ≠ 導出値 6。 - d「90」：90 ≠ 導出値 6。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：少ない指数を取る理由と最大条件を補足。 EN判断：同じ数学的内容へ改訂。現行EN：18 = 2 × 3² and 30 = 2 × 3 × 5. Their common prime factors give 2 × 3 = 6. ### ma-0030 — ma-lcm 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：12と18の最小公倍数は？ 自作導出：12＝2²×3、18＝2×3²です。両方で割り切れる数には、2が二つ、3が二つ必要なので、最小公倍数は2²×3²＝36です。36÷12＝3、36÷18＝2と確認できます。12の倍数で36より小さい12と24は18で割り切れません。72や216も公倍数ですが、最小ではありません。 選択肢の個別検算： - a「216」：216 ≠ 導出値 36。 - b「36」：36 ＝ 導出値 36。 - c「6」：6 ≠ 導出値 36。 - d「72」：72 ≠ 導出値 36。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：多い指数を取る理由と最小条件を補足。 EN判断：同じ数学的内容へ改訂。現行EN：12 = 2² × 3 and 18 = 2 × 3². Taking each prime at its larger exponent gives 2² × 3² = 36. ### ma-0031 — ma-divisibility-nine 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：9で割り切れる数は？ 自作導出：342の各位の和は3＋4＋2＝9なので、9で割り切れます。この規則は、100や10が9で割ると1余ることから分かります。342＝3×100＋4×10＋2は、余りだけ見ると3＋4＋2と同じです。ほかの各位の和は343が10、344が11、341が8で、いずれも9の倍数ではありません。 選択肢の個別検算： - a「343」：各位和10、余り1。 - b「344」：各位和11、余り2。 - c「342」：各位和9、余り0。 - d「341」：各位和8、余り8。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：各位の和の判定根拠を導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A number is divisible by 9 exactly when its digit sum is. For 342, 3 + 4 + 2 = 9. The other digit sums are 10, 11 and 8. ### ma-0032 — ma-terminating 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：既約分数で、有限小数になるものは？ 自作導出：7/40の分母は40＝2³×5なので、分子と分母を25倍して175/1000＝0.175にできます。有限小数は分母を10の累乗に直せる分数です。10の素因数は2と5だけなので、既約分母に3や7が残る候補は直せません。「既約」という条件により、分子との約分で別の因数が消える可能性も除かれています。 選択肢の個別検算： - a「1/3」：分母3が10の累乗を割らない。 - b「2/7」：分母7が10の累乗を割らない。 - c「5/6」：既約分母6に3が残る。 - d「7/40」：40×25＝1000、0.175。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：分母の条件を実際の十進分母で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A reduced denominator containing only factors 2 and 5 divides some power of 10. Since 40 = 2³ × 5, 7/40 terminates. Denominators 3, 7 and 6 contain other prime factors. ### ma-0033 — ma-repeating 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：0.333…（3が無限に続く）に等しい数は？ 自作導出：x＝0.333…と置くと、10x＝3.333…です。同じ無限に続く小数部分を引けば10x−x＝3となり、9x＝3、x＝1/3と分かります。0.3、0.33、0.333は途中で止まる別の数で、それぞれ1/3より小さい値です。省略記号は、3がいつまでも続くという問題の条件を表しています。 選択肢の個別検算： - a「1/3」：1/3の十進展開は反復3。 - b「3/10」：0.3は差1/30。 - c「33/100」：0.33は差1/300。 - d「333/1000」：0.333は差1/3000。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：無限反復と有限近似の違いを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Let x = 0.333…. Then 10x = 3.333…, so subtracting gives 9x = 3 and x = 1/3. A finite decimal such as 0.333 is different. ### ma-0035 — ma-root-simplify 旧revision 2 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：√72を簡単にすると？ 自作導出：72＝36×2と、平方数36を含む積に分けます。どちらも非負なので√72＝√36×√2＝6√2です。根号の外へ出せるのは36そのものではなく、その平方根6です。確かめると（6√2）²＝36×2＝72になります。根号の中を足し算に分けて、平方根同士を足すことはできません。 選択肢の個別検算： - a「8√3」：（8√3）²＝192。 - b「36√2」：（36√2）²＝2592。 - c「6√2」：（6√2）²＝72。 - d「3√2」：（3√2）²＝18。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：根号外の係数と二乗検算を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：72 = 36 × 2, so √72 = √36 × √2 = 6√2. ### ma-0037 — ma-irrational 旧revision 1 / topic 数と計算 / middle, standard。 条件：無理数はどれ？ 自作導出：無理数は、整数の比で表せない実数です。√2＝p/qが既約分数だと仮定するとp²＝2q²からpが偶数となり、p＝2kを代入するとq²＝2k²でqも偶数になります。両方偶数では既約に反するので√2は無理数です。0.25＝1/4、−7＝−7/1、√9＝3は整数の比で表せます。 選択肢の個別検算： - a「√2」：既約比を仮定するとp,q共に偶数の矛盾。 - b「0.25」：0.25＝1/4は有理数。 - c「−7」：−7＝−7/1は有理数。 - d「√9」：√9＝3/1は有理数。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：無理数判定の背理法を実際に説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：√2 cannot equal a ratio of integers: a reduced ratio with square 2 would force both numerator and denominator to be even. The other choices are 1/4, −7 and 3, all rational. ### ma-0039 — ma-negative-exponent 旧revision 2 / topic 数と計算 / high, standard。 条件：2⁻³は？ 自作導出：2⁻³＝1/2³＝1/8です。負の指数は負の値を表す記号ではなく、同じ正の指数のべきの逆数を表します。指数の規則で2³×2⁻³＝2⁰＝1になるように定められています。2³＝8を掛けると1に戻るかを確かめれば、−8や−6という候補との違いが分かります。 選択肢の個別検算： - a「−6」：−6×8＝−48。 - b「8」：8×8＝64。 - c「1/8」：（1/8）×8＝1。 - d「−8」：−8×8＝−64。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：負指数の意味と指数法則を接続。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A negative exponent means a reciprocal: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. It does not make the value negative. ### ma-0042 — ma-fractional-power 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, standard。 条件：16^(3/4)の値は？ 自作導出：16^(3/4)は、16の正の四乗根を取ってから三乗する値です。2⁴＝16なので四乗根は2、2³＝8になります。16の3/4倍を求める16×3/4＝12とは、指数と掛け算が違います。分母4は四乗根を取ること、分子3はその四乗根を三乗する指数を表します。 選択肢の個別検算： - a「64」：64 ≠ 導出値 8。 - b「8」：8 ＝ 導出値 8。 - c「12」：12 ≠ 導出値 8。 - d「4」：4 ≠ 導出値 8。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：分数指数と数の分数倍を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Take the positive fourth root of 16, which is 2, and cube it: 2³ = 8. ### ma-0043 — ma-log-definition 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, basic。 条件：log₂ 32は？ 自作導出：log₂32は「2を何乗すると32になるか」という指数です。1に2を五回掛けると1、2、4、8、16、32と進み、2⁵＝32になるので、値は5です。対数は32を2で割った16でも、32と2の差30でもありません。答えを指数へ戻し、2の5乗が元の32になることを確かめます。 選択肢の個別検算： - a「30」：30 ≠ 導出値 5。 - b「1/5」：0.2 ≠ 導出値 5。 - c「5」：5 ＝ 導出値 5。 - d「16」：16 ≠ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：定義と指数への逆変換を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A logarithm asks for an exponent. Since 2⁵ = 32, log₂ 32 = 5. ### ma-0044 — ma-log-product 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, standard。 条件：x＞0、y＞0のときlog₁₀(xy)は？ 自作導出：u＝log₁₀x、v＝log₁₀yと置くと、x＝10ᵘ、y＝10ᵛです。積はxy＝10ᵘ×10ᵛ＝10^(u＋v)なので、log₁₀(xy)＝log₁₀x＋log₁₀yになります。掛け算が和になる理由は、同じ底のべきを掛けると指数を足すことにあります。実数の対数を使うためx、yが正という条件も必要です。 選択肢の個別検算： - a「log₁₀x×log₁₀y」：x＝y＝10で左2、右1。 - b「log₁₀x−log₁₀y」：x＝y＝10で左2、右0。 - c「log₁₀x÷log₁₀y」：x＝y＝10で左2、右1。 - d「log₁₀x＋log₁₀y」：指数法則からu＋v。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：積の公式を指数の定義から導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Writing x = 10ᵘ and y = 10ᵛ gives xy = 10ᵘ⁺ᵛ. Therefore the logarithm of the product is log₁₀x + log₁₀y. Positivity is required for these real logarithms. ### ma-0050 — ma-complex-division 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, standard。 条件：1/(1＋i)は？ 自作導出：分子と分母に共役1−iを掛けると、1/(1＋i)＝（1−i）/［（1＋i）（1−i）］です。分母は1−i²＝2なので、（1−i）/2になります。分子だけに1−iを掛けると値が変わります。最後に（1＋i）×（1−i）/2＝1と確かめれば、元の数の逆数になっています。 選択肢の個別検算： - a「−i」：（1＋i）（−i）＝1−i。 - b「（1−i）/2」：積1。 - c「1−i」：（1＋i）（1−i）＝2。 - d「（1＋i）/2」：（1＋i）²/2＝i。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：共役積の途中計算と掛け戻しを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Multiply numerator and denominator by 1 − i. The denominator is (1 + i)(1 − i) = 2, giving (1 − i)/2. ### ma-0051 — ma-binomial-coefficient 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, standard。 条件：（x＋y）⁵のx³y²の係数は？ 自作導出：五つの（x＋y）から、三つのxと二つのyを選ぶとx³y²になります。yを選ぶ位置は5×4通りですが、同じ二位置を逆順に選んでも同じ項なので2で割ります。係数は5×4÷2＝10です。展開の係数は、この項が同じ形で何回現れるかを数えたものです。 選択肢の個別検算： - a「20」：20 ≠ 導出値 10。 - b「15」：15 ≠ 導出値 10。 - c「10」：10 ＝ 導出値 10。 - d「5」：5 ≠ 導出値 10。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：組合せで2で割る理由を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Choose which two of the five factors supply y; the others supply x. There are 5 choose 2 = 10 choices. ### ma-0056 — ma-rational-root 旧revision 1 / topic 数と計算 / high, advanced。 条件：x³−2＝0の実数解について正しいのは？ 自作導出：実数解は∛2です。これが既約な整数比p/qだと仮定すると、p³＝2q³になります。左辺の素因数2の個数は3の倍数、右辺では3の倍数に1を足した個数となり、一致できません。よって解は無理数です。1/2を三乗すると1/8、2を三乗すると8なので、どちらも方程式の解ではありません。 選択肢の個別検算： - a「整数である」：整数なら有理数なので上の矛盾。 - b「1/2である」：（1/2）³−2＝−15/8。 - c「2である」：2³−2＝6。 - d「無理数である」：p³＝2q³の2指数がmod3で矛盾。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：素因数指数の矛盾を具体的に説明。 ### ma-0064 — ma-bezout 旧revision 1 / topic 数と計算 / university, standard。 条件：gcd(a,b)＝1から保証されるものは？ 自作導出：gcd(a,b)＝1なら、ある整数x、yによってax＋by＝1と表せます。互除法の余りを前の割り算へ順に戻すと、最大公約数をaとbの整数係数の和にできるためです。例えばa＝3、b＝5なら3×2＋5×（−1）＝1です。a＋b＝1やab＝1という、元の数そのものへの条件ではありません。 選択肢の個別検算： - a「a＋b＝1」：3と5は互いに素だが和8。 - b「a＝b」：3と5は互いに素だが異なる。 - c「ab＝1」：3と5は互いに素だが積15。 - d「整数x,yでax＋by＝1」：互除法を逆代入してgcdを整数結合で表す。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：ベズーの定理を互除法と係数例で説明。 ### ma-0067 — ma-fermat 旧revision 1 / topic 数と計算 / university, standard。 条件：素数pとpで割れない整数aに対し成立するのは？ 自作導出：a^(p−1)≡1（mod p）は、a^(p−1)をpで割った余りが1という主張です。pが素数でaがpで割れないと、1からp−1の非零の余りにaを掛けても同じ余りの並べ替えになります。その積を比べ、（p−1）!を合同式で約せば結論が得られます。普通の等式ではなく、例えば2²＝4でも4≡1（mod 3）です。 選択肢の個別検算： - a「a≡0（mod p）」：条件でa≠0 modp。 - b「a^(p−1)＝1」：p3,a2で2²＝4≠1。 - c「a^(p−1)≡1（mod p）」：非零剰余の乗算置換と可逆積の約分。 - d「a^p≡1が常に成立」：p3,a2で2³≡2≠1。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：合同と等式の違いを定理の証明に接続。 ### ma-0071 — ma-units-ring 旧revision 1 / topic 数と計算 / university, standard。 条件：整数をmod 8で考えると、逆元を持つ剰余は？ 自作導出：mod 8の乗法逆元は、掛けると8で割った余りが1になる相手です。1²＝1、3²＝9、5²＝25、7²＝49はすべて余り1なので、1、3、5、7は逆元を持ちます。0と偶数に何を掛けても偶数で、余り1にはできません。0以外ならすべて逆元があるという性質は、合成数8を法にすると成立しません。 選択肢の個別検算： - a「1だけ」：3,5,7も各自乗で1。 - b「0以外全部」：2は全積偶数で逆元なし。 - c「1、3、5、7」：1,3,5,7各自乗≡1。 - d「0、2、4、6」：0,2,4,6は全積偶数。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：全剰余を積と偶奇で点検。 ### ma-0081 — ma-unknown-addend 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, basic。 条件：□＋18＝45。□は？ 自作導出：□＋18＝45の両辺から18を引くと、□＝45−18＝27です。左右へ同じ操作をするので、等しいという関係を保てます。求めた27を元の空欄に入れると27＋18＝45になります。45＋18＝63は、空欄の数に既に加わっている18をさらに足してしまう計算です。 選択肢の個別検算： - a「27」：27 ＝ 導出値 27。 - b「63」：63 ≠ 導出値 27。 - c「37」：37 ≠ 導出値 27。 - d「23」：23 ≠ 導出値 27。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：等式保存と代入検算を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Subtract 18 from both sides: □ = 45 − 18 = 27. ### ma-0083 — ma-price-expression 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：1本80円の鉛筆x本と100円の消しゴム1個。合計金額は？ 自作導出：鉛筆代は、一本分の80円をx本分合わせて80x円です。消しゴムは一個だけなので100円を一度足し、合計は80x＋100円になります。x＝2なら160＋100＝260円と場面へ戻せます。80＋100xでは消しゴムをx個買う式になり、180xでは消しゴムまで鉛筆一本ごとに数えてしまいます。 選択肢の個別検算： - a「80＋100x円」：x2で280、実購入260。 - b「80x−100円」：x2で60、実購入260。 - c「80x＋100円」：x2で260、各項の購入内容一致。 - d「180x円」：x2で360、実購入260。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：文字のかかる項の場面と代入例を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The pencils cost 80x yen and the eraser adds a fixed 100 yen, so the total is 80x + 100 yen. ### ma-0086 — ma-table-proportion 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：xが1、2、3のときyが4、8、12。y＝kxならkは？ 自作導出：y＝kxなら、xが0でない組で両辺をxで割るとk＝y/xです。表の三組は4/1＝4、8/2＝4、12/3＝4なのでk＝4になります。例えばx＝3へ戻すとy＝4×3＝12です。yの増分4を見つけるだけでなく、対応するxとyの比がどの組でも同じかを確認します。 選択肢の個別検算： - a「12」：12 ≠ 導出値 4。 - b「4」：4 ＝ 導出値 4。 - c「3」：3 ≠ 導出値 4。 - d「2」：2 ≠ 導出値 4。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：式から比例定数を解き全組を確認。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Divide y by x for each pair: 4/1 = 8/2 = 12/3 = 4. This common ratio is k. ### ma-0087 — ma-not-proportion 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：x＝1、2、3に対しy＝3、5、7。比例しない理由は？ 自作導出：比例ならy＝kxなので、xが0でない各組のy/xが一定になります。ここでは3/1＝3、5/2＝2.5、7/3となり、同じ比ではありません。yが毎回2ずつ増えても、当てはまる式はy＝2x＋1で、原点を通る比例の形とは違います。増加していることや差が一定なことだけでは、比例を保証できません。 選択肢の個別検算： - a「xが整数」：比例判定にxが整数かは無関係。 - b「差が2」：一定差でもy＝2x＋1は非比例。 - c「y/xが一定でない」：比3,2.5,7/3が不一致。 - d「yが増える」：増える例y＝2xは比例。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：全比の数値と切片のある反例を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Direct proportionality requires y/x to be constant. The ratios here are 3, 5/2 and 7/3, which differ. A constant increase in y alone is insufficient. ### ma-0088 — ma-inverse-table 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：x＝1、2、4のときy＝12、6、3。一定な量は？ 自作導出：三組の積は1×12＝12、2×6＝12、4×3＝12で、xyが一定です。これはy＝12/xという反比例の関係です。xが二倍になるとyは半分になり、積が保たれます。和x＋yは13、8、7、比y/xは12、3、3/4となるので、これらが一定というわけではありません。 選択肢の個別検算： - a「x＋y」：和13,8,7。 - b「y−x」：差11,4,−1。 - c「y/x」：比12,3,0.75。 - d「xy」：積12,12,12。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：反比例を積と増減倍率で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The products are 1 × 12 = 2 × 6 = 4 × 3 = 12. A constant product expresses inverse proportionality. ### ma-0089 — ma-matchsticks 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：横一列に正方形をつなぐ。1個4本、2個7本、3個10本。n個は？ 自作導出：最初の正方形には4本使い、次の正方形は隣と一辺を共有するので3本ずつ追加します。追加する正方形はn−1個だから、4＋3（n−1）＝3n＋1本です。n＝1、2、3を入れると4、7、10本に戻ります。4nでは共有辺を二重に数え、3nでは最初の一辺分を落とします。 選択肢の個別検算： - a「3n＋1本」：n1,2,3で4,7,10。 - b「4n本」：n2で8≠7。 - c「n＋3本」：n3で6≠10。 - d「3n本」：n1で3≠4。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：追加個数n−1と共有辺の数え方を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Start with 4 sticks. Each additional square shares one side and adds 3 sticks, so the total is 4 + 3(n − 1) = 3n + 1. ### ma-0091 — ma-balance 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：天びんで同じ重さの箱3個と6 gが、30 gとつり合う。箱1個は？ 自作導出：つり合いを保って両側から6 gを取り去ると、箱三個で30−6＝24 gです。同じ重さの三個なので、一個は24÷3＝8 gになります。箱一個を8 gとして戻すと、3×8＋6＝30 gとつり合います。24 gは箱三個分の重さで、一個分への割り算がまだ残っています。 選択肢の個別検算： - a「6 g」：6 ≠ 導出値 8。 - b「24 g」：24 ≠ 導出値 8。 - c「8 g」：8 ＝ 導出値 8。 - d「12 g」：12 ≠ 導出値 8。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：天びんの操作と一個分への検算を補足。 ### ma-0093 — ma-linear-reading 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：水量y＝5t＋20 L（t分後）。20が表すものは？ 自作導出：開始時はt＝0分なので、水量は5×0＋20＝20 Lです。この20は最初からある量を表します。一分後は25 L、二分後は30 Lと、毎分5 Lずつ増える分が5tです。毎分の増加量は5であり、20ではありません。この式だけから容器の容量や給水を終える時刻は決まりません。 選択肢の個別検算： - a「開始時の水量」：t0で20L。 - b「毎分の増加量」：一分差5Lで20でない。 - c「終了時刻」：式に停止時刻条件がない。 - d「容器の容量」：同じ式が異なる容量でも使用可能。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：初期量と変化率を二時点の値で区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：At t = 0, the formula gives y = 20 L. Thus 20 is the starting amount; 5 is the increase per minute. ### ma-0094 — ma-speed-graph 旧revision 1 / topic 式・関数 / elementary, standard。 条件：時間と道のりのグラフが横向きの直線になった区間。何を表す？ 自作導出：縦軸が道のりなら、横向きの区間は時間がたっても移動した道のりが同じという意味です。区間の前後の道のりの差が0なので、その間は止まっています。一定の速さで進めば道のりは増えます。速さを縦軸にしたグラフの横線なら意味が変わるので、線の形と一緒に軸の量も確認します。 選択肢の個別検算： - a「急に速くなる」：速くなれば累積道のりは増える。 - b「止まっている」：道のり増分0、停止。 - c「一定の速さで進む」：非零速さなら道のり増分正。 - d「戻っている」：戻る移動でも道のりは増える。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：道のり差0と速さグラフの区別を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Time increases while the distance travelled stays unchanged, so there is no movement during that interval. ### ma-0095 — ma-coordinate-read 旧revision 2 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：点(3,−2)は原点からどう移動した位置？ 自作導出：座標は（横、縦）の順に書きます。（3、−2）は、原点から横へ＋3、縦へ−2、つまり右へ3、下へ2の位置です。符号は各成分の方向を示し、成分の順を入れ替える指示ではありません。横を先に読むと、右へ2といった座標の取り違えを見つけられます。 選択肢の個別検算： - a「右へ2、上へ3」：（2,3）で違う。 - b「右へ3、上へ2」：（3,2）でy符号違い。 - c「右へ3、下へ2」：（3,−2）で一致。 - d「左へ3、下へ2」：（−3,−2）でx符号違い。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：順序対と符号を各成分へ結び付ける。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The first coordinate is horizontal and the second is vertical. Positive 3 means three units right; negative 2 means two units down. ### ma-0101 — ma-like-terms 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, basic。 条件：3x＋2−x＋5をまとめると？ 自作導出：同じ文字xを持つ項をまとめると3x−x＝（3−1）x＝2xです。文字のない項は2＋5＝7なので、全体は2x＋7になります。xの項と定数は同類項ではないため、2x＋7を9xにはできません。例えばx＝0なら元の式は7で、9xでは0となります。 選択肢の個別検算： - a「2x＋7」：係数2定数7で一致。 - b「4x＋7」：係数4が違う、x1で11≠9。 - c「2x＋3」：定数3が違う、x0で3≠7。 - d「9x」：x0で0≠7。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：同類項の係数と定数の役割を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Combine like terms: 3x − x = 2x and 2 + 5 = 7. The result is 2x + 7. ### ma-0104 — ma-inequality-sign 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：−2x＞6を解くと？ 自作導出：−2x＞6の両辺を−2で割ると、不等号の向きが逆になりx＜−3です。負の数を掛けたり割ったりすると、数直線上の大小関係が反転します。実際にx＝−4なら−2x＝8＞6ですが、x＝0なら0＞6は成立しません。境界x＝−3では6＞6が偽なので、等号も含めません。 選択肢の個別検算： - a「x＞−3」：x0を含むが原式で偽。 - b「x＜3」：x0を含むが原式で偽。 - c「x＞3」：x4を含むが原式で偽。 - d「x＜−3」：x＜−3なら−2x＞6、境界除外。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：負数除算の向きと境界の代入確認を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Divide both sides by −2. Dividing by a negative reverses the inequality, so x < −3. ### ma-0106 — ma-slope 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：直線が(1,3)、(3,7)を通る。傾きは？ 自作導出：傾きは「横に一つ進むと縦にいくつ変わるか」です。横の変化は3−1＝2、縦の変化は7−3＝4なので、傾きは4/2＝2になります。縦の変化4だけでは二つ進んだ分を数えています。点の順を両方で入れ替えても（3−7）/（1−3）＝2で、同じ傾きです。 選択肢の個別検算： - a「3」：3 ≠ 導出値 2。 - b「2」：2 ＝ 導出値 2。 - c「4」：4 ≠ 導出値 2。 - d「1/2」：0.5 ≠ 導出値 2。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：単位変化率と差の向きの一貫性を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Slope is change in y divided by change in x: (7 − 3)/(3 − 1) = 4/2 = 2. ### ma-0109 — ma-quadratic-expand 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：（x−3）²は？ 自作導出：（x−3）²は（x−3）（x−3）という二つの同じ因子の積です。展開するとx²−3x−3x＋9＝x²−6x＋9になります。−3xが二回現れるのは、それぞれのxに反対側の−3を掛けるためです。各項を別々に二乗するx²＋9では、この二つの交差する積を落としています。 選択肢の個別検算： - a「x²−6x＋9」：全展開一致。 - b「x²＋9」：x1で10≠4。 - c「x²−9」：x＝1で1²−9＝−8≠（1−3）²＝4。 - d「x²−3x＋9」：x1で7≠4。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：二つの中間項を全展開で説明。 ### ma-0111 — ma-factor-trinomial 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：x²＋5x＋6の因数分解は？ 自作導出：（x＋a）（x＋b）を展開するとx²＋（a＋b）x＋abです。x²＋5x＋6に合わせるには、a＋b＝5、ab＝6を両方満たす2と3を使います。よって（x＋2）（x＋3）です。積が6という条件だけなら1と6も候補ですが、和が7となりxの係数が違います。 選択肢の個別検算： - a「（x＋1）（x＋6）」：展開x²＋7x＋6。 - b「（x＋5）（x＋1）」：展開x²＋6x＋5。 - c「（x＋2）（x＋3）」：展開x²＋5x＋6。 - d「（x−2）（x−3）」：展開x²−5x＋6。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：因数候補の和と積を展開で説明。 ### ma-0115 — ma-quadratic-min 旧revision 2 / topic 式・関数 / middle, standard。 条件：y＝−x²＋4、−1≦x≦2で最小値は？ 自作導出：y＝4−x²は、x²が大きいところほど小さくなります。−1≦x≦2では、0から最も遠いx＝2でx²＝4となるので最小値は0です。端点x＝−1では3、中央のx＝0では4です。微分で見つかるx＝0は最大の場所で、区間内の最小を調べるには端点も比較します。 選択肢の個別検算： - a「4」：4 ≠ 導出値 0。 - b「−4」：-4 ≠ 導出値 0。 - c「0」：0 ＝ 導出値 0。 - d「3」：3 ≠ 導出値 0。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：頂点と両端を実数値で比較。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：On this interval, x² is largest at x = 2, where it is 4. Therefore −x² + 4 is smallest there and equals 0. At x = −1 it is 3. ### ma-0120 — ma-rational-cancel-domain 旧revision 1 / topic 式・関数 / middle, advanced。 条件：（x²−1）/(x−1)＝x＋1について正しいのは？ 自作導出：分子を（x−1）（x＋1）と分解し、x≠1ならx−1を約してx＋1にできます。x＝1では元の分母が0なので、元の分数は定義されません。簡単にした式へ1を入れて2が出ても、元の式の穴は埋まりません。x＝−1では分母−2、分子0となり、両辺は0で一致します。 選択肢の個別検算： - a「すべてのxで元の分数が定義される」：x1は0/0で未定義。 - b「x＝1だけ成立」：x1ではむしろ未定義。 - c「x≠−1でのみ成立」：x−1で0＝0、除外不要。 - d「x≠1でのみ元の分数と等しい」：x≠1では因子約分、x1未定義。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：元の定義域と簡略化後の値を具体例で区別。 ### ma-0121 — ma-complete-square 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：x²−4x＋7の最小値（xは実数）は？ 自作導出：x²−4x＋7＝（x−2）²＋3と平方完成します。実数の二乗は0以上なので、この値は必ず3以上です。x＝2のとき二乗部分が0になり、実際に3を取るので最小値は3です。下限を示すだけでなく、その値を達成するxがあるかも確認します。 選択肢の個別検算： - a「3」：3 ＝ 導出値 3。 - b「7」：7 ≠ 導出値 3。 - c「−4」：-4 ≠ 導出値 3。 - d「2」：2 ≠ 導出値 3。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：下限と達成条件を分けて説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Complete the square: x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3. A square is at least zero, so the minimum is 3 at x = 2. ### ma-0124 — ma-quadratic-inequality 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：x²−x−6＜0の解は？ 自作導出：x²−x−6＝（x＋2）（x−3）です。積が負になるには二因子の符号が反対でなければなりません。−2＜x＜3ではx＋2が正、x−3が負なので条件を満たします。外側では二因子が同符号で積は正です。x＝−2、3では積が0となるため、「0より小さい」という条件から外します。 選択肢の個別検算： - a「x＜−2またはx＞3」：x4で6＞0。 - b「−3＜x＜2」：x−2.5で2.75＞0を含む。 - c「すべての実数」：x4で6＞0を含む。 - d「−2＜x＜3」：区間内の符号＋/−、端点0は除外。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：根の間の符号と厳密境界を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Factor as (x + 2)(x − 3). The factors have opposite signs exactly between −2 and 3, so −2 < x < 3. The endpoints are excluded by the strict inequality. ### ma-0125 — ma-remainder-theorem 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：P(x)＝x³−2x＋4をx−2で割った余りは？ 自作導出：一次式x−2で割った余りは定数rなので、P(x)＝（x−2）Q(x)＋rと書けます。x＝2を入れると割り切れる部分が0になり、r＝P(2)＝2³−2×2＋4＝8です。これは「余りの定理」という名前だけでなく、割り算の式へ根2を代入して確かめられます。 選択肢の個別検算： - a「8」：8 ＝ 導出値 8。 - b「4」：4 ≠ 導出値 8。 - c「0」：0 ≠ 導出値 8。 - d「12」：12 ≠ 導出値 8。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：余りの定理を割り算の式から導く。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Writing P(x) = (x − 2)Q(x) + r and substituting x = 2 gives r = P(2) = 8 − 4 + 4 = 8. ### ma-0127 — ma-log-equation-domain 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, advanced。 条件：log₂(x−1)＋log₂(x＋1)＝3の実数解は？ 自作導出：対数の中身が正なので、x−1＞0、x＋1＞0よりまずx＞1です。和を積の対数にまとめるとlog₂（x²−1）＝3、つまりx²−1＝2³＝8となります。候補はx＝±3ですが、−3は最初の条件に合いません。x＝3ならlog₂2＋log₂4＝1＋2＝3と元の式でも確かめられます。 選択肢の個別検算： - a「−3」：−3は両中身負。 - b「√8」：√8は積7でlog₂7≠3。 - c「3」：x3で1＋2＝3。 - d「−3と3」：−3を含み定義域違反。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：二対数の定義域と解の戻し確認を補足。 ### ma-0131 — ma-sine-addition 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：sin(α＋β)の加法定理は？ 自作導出：単位円の点（cosα、sinα）を角βだけ回転させると、縦の座標はcosα sinβ＋sinα cosβになります。その点の角度がα＋βなので、これがsin（α＋β）です。二つの積は横成分と縦成分の寄与を合わせたものです。例えばα＝β＝π/2では左辺0で、sinα＋sinβ＝2とは一致しません。 選択肢の個別検算： - a「sinα sinβ＋cosα cosβ」：αβ0で右1左0。 - b「sinα cosβ−cosα sinβ」：α0,βπ/2で右−1左1。 - c「sinα cosβ＋cosα sinβ」：回転の縦成分と一致。 - d「sinα＋sinβ」：αβπ/2で右2左0。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：加法公式を回転の成分と反例で説明。 EN判断：同じ数学的内容へ改訂。現行EN：Rotating the unit-circle vector through β takes its vertical coordinate to sin α cos β + cos α sin β. This is sin(α + β). ### ma-0132 — ma-arith-series 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：初項3、公差2、10項の等差数列の和は？ 自作導出：十項目は3＋（10−1）×2＝21です。最初と最後、二番目と九番目のように組を作ると、どの組も和は24で、五組あります。したがって和は24×5＝120です。初項から末項までには増加が九回あり、十回ではありません。同じ考えを平均で書けば（3＋21）/2×10です。 選択肢の個別検算： - a「100」：100 ≠ 導出値 120。 - b「110」：110 ≠ 導出値 120。 - c「210」：210 ≠ 導出値 120。 - d「120」：120 ＝ 導出値 120。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：項番号と増加回数、対の数を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The last term is 3 + 9 × 2 = 21. Pairing first with last gives an average term of (3 + 21)/2 = 12. Ten terms sum to 120. ### ma-0135 — ma-infinite-geometric 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：1＋1/2＋1/4＋…の和は？ 自作導出：最初のn項の和をSₙとすると、Sₙ＝2−2^(1−n)です。例えば一項なら1、二項なら1.5となり、項数を増やすほど残り2^(1−n)が0へ近づきます。その極限が2なので、無限の和は2です。項数が無限に多いというだけで発散するのではなく、一項ずつの量が十分速く小さくなっています。 選択肢の個別検算： - a「無限大」：Infinity ≠ 導出値 2。 - b「3/2」：1.5 ≠ 導出値 2。 - c「2」：2 ＝ 導出値 2。 - d「1」：1 ≠ 導出値 2。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：有限部分和から無限和の極限を説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The partial sum through 1/2ⁿ is 2 − 1/2ⁿ. As n increases without bound, the final term tends to zero, so the sum tends to 2. ### ma-0137 — ma-inverse-function 旧revision 1 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：f(x)＝3x−2の逆関数は？ 自作導出：y＝3x−2をxについて解くと、y＋2＝3x、x＝（y＋2）/3です。入力と出力の記号を入れ替え、逆関数はf⁻¹(x)＝（x＋2）/3となります。もとの規則「三倍して二を引く」を逆順に戻し、「二を足して三で割る」操作です。f⁻¹は逆関数の記号で、1/f(x)という逆数とは別です。 選択肢の個別検算： - a「f⁻¹(x)＝(x＋2)/3」：f⁻¹(f(x))＝x。 - b「f⁻¹(x)＝(x−2)/3」：合成でx−4/3。 - c「f⁻¹(x)＝1/(3x−2)」：x0で1/f(0)＝−1/2だが逆関数2/3。 - d「f⁻¹(x)＝3x＋2」：合成で9x−4、逆でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：逆操作の順と逆関数・逆数の違いを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Solve y = 3x − 2 for x: x = (y + 2)/3. Swapping input and output labels gives f⁻¹(x) = (x + 2)/3. An inverse function is different from a reciprocal. ### ma-0142 — ma-limit-removable 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：x→1のとき(x²−1)/(x−1)の極限は？ 自作導出：x≠1では（x²−1）/（x−1）＝x＋1です。xを1へ近づけると、周囲の値x＋1は2へ近づくので極限は2です。元の分数へ1を直接入れると0/0で定義されませんが、極限はその点そのものの値ではなく周囲の近づき方を見ます。x＝0.9なら1.9、1.1なら2.1となり、左右から同じ2へ近づきます。 選択肢の個別検算： - a「存在しない」：NaN ≠ 導出値 2。 - b「2」：2 ＝ 導出値 2。 - c「0」：0 ≠ 導出値 2。 - d「1」：1 ≠ 導出値 2。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：極限と点の値を左右の具体値で区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：For x ≠ 1, the expression simplifies to x + 1. Its nearby values approach 2. The expression need not be defined at the point for the limit to exist. ### ma-0145 — ma-derivative-definition 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：fのaでの導関数を定義する極限は？ 自作導出：差商［f(a＋h)−f(a)］/hは、入力がhだけ変わったときの出力の変化を割った平均の変化率です。hは0以外として計算し、h→0の極限が存在すれば、aでの微分係数f′(a)になります。例えばf(x)＝x²なら差商は2a＋hで、極限は2aです。点ごとの微分係数をxの関数として表したものが導関数です。f(a＋h)/hでは、変化量から初めの値f(a)を引いていません。 選択肢の個別検算： - a「h→0で[f(a＋h)−f(a)]/h」：x²では差商2a＋h→2a。 - b「h→0でf(a＋h)/h」：f(a＋h)/hはa1で発散。 - c「h→∞でf(h)/h」：∞への極限は局所導関数でない。 - d「h→0でf(a)＋h」：f(a)＋h→f(a)、x²のa1で1≠2。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：差商の定義に具体的極限例を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The difference quotient compares the output change f(a + h) − f(a) with the input change h. Its limit as h tends to zero, when it exists, is the instantaneous rate of change. ### ma-0147 — ma-product-derivative 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：f(x)＝x²sin xの導関数は？ 自作導出：積の微分では、第一因子を微分した項と第二因子を微分した項を足します。x²の微分は2x、sin xの微分はcos xなので、答えは2x sin x＋x²cos xです。両方の因子がxによって変わるため、一方の変化だけでは足りません。「各因子の微分を掛ける」2x cos xは積の微分則ではありません。 選択肢の個別検算： - a「x²cos x」：xπ/2で0だが正解π。 - b「2x sin x」：xπで0だが正解−π²。 - c「2x sin x＋x²cos x」：積則による二項。 - d「2x cos x」：xπで−2πだが正解−π²。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：両因子の変化と誤った微分の積を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Use the product rule: differentiate each factor once while keeping the other. The result is 2x sin x + x² cos x. ### ma-0148 — ma-chain-rule 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：f(x)＝sin(x²)の導関数は？ 自作導出：sin（x²）は、内側のx²を計算してから外側のsinへ入れる合成関数です。外側を微分してcos（x²）、内側を微分して2xとし、掛けると2x cos（x²）です。内側の入力もxに応じて変わるので、その変化率2xが必要です。角の中を2xへ書き換えるcos（2x）ではありません。 選択肢の個別検算： - a「cos(x²)」：x0で1だが正解0。 - b「2x sin(x²)」：x√πで0だが正解−2√π。 - c「cos(2x)」：x0で1だが正解0。 - d「2x cos(x²)」：連鎖則cos（x²）×2x。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：内外の役割と角を保つ理由を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The chain rule multiplies the derivative of the outer sine by the derivative of the inner x²: cos(x²) × 2x. ### ma-0151 — ma-tangent-line 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：y＝x²のx＝2での接線は？ 自作導出：接線は点（2、4）を通り、傾きはy＝x²の微分2xへ2を入れた4です。したがってy−4＝4（x−2）、整理してy＝4x−4です。元の点を通ることと、その点での傾きが合うことを両方確認します。y＝2xも（2、4）を通りますが、傾き2なので接線にはなりません。 選択肢の個別検算： - a「y＝4x＋4」：x2で12≠4。 - b「y＝x＋2」：x2で4だが傾き1。 - c「y＝4x−4」：x2で4、傾き4。 - d「y＝2x」：x2で4だが傾き2。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：点を通る条件と傾き条件を分離。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The point is (2, 4) and the derivative 2x gives slope 4 there. Thus y − 4 = 4(x − 2), or y = 4x − 4. ### ma-0153 — ma-stationary-not-extremum 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：f(x)＝x³のx＝0は？ 自作導出：f′(x)＝3x²なのでf′(0)＝0、つまりx＝0は停留点です。しかしx³は0の左で負、右で正となり、そのまま増加を続けます。極大なら周囲より大きく、極小なら周囲より小さい必要がありますが、0ではどちらも満たしません。導関数が0になることだけでは、極値とは判断できません。 選択肢の個別検算： - a「停留点だが極値ではない」：微分0、左右の値から極値でない。 - b「極大点」：xε＞0でfε＞f0、極大でない。 - c「極小点」：x−εでf−ε＜f0、極小でない。 - d「不連続点」：多項式なので0でも連続。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：停留点と極値の定義を左右の値で比較。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The derivative 3x² is zero at 0, making it stationary. But x³ is negative just left of 0 and positive just right, so 0 is neither a local maximum nor a local minimum. ### ma-0157 — ma-signed-area 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, advanced。 条件：∫₋₁¹ x dxは？ 自作導出：原始関数x²/2を使うと、∫₋₁¹ x dx＝1²/2−（−1）²/2＝0です。負の側の積分−1/2と正の側の積分1/2が打ち消し合います。定積分は符号付きの量なので、図形の面積を足した1とは区別します。実際の面積を求めるなら、負側を正の大きさとして扱って合計します。 選択肢の個別検算： - a「0」：0 ＝ 導出値 0。 - b「1」：1 ≠ 導出値 0。 - c「2」：2 ≠ 導出値 0。 - d「−1」：-1 ≠ 導出値 0。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：定積分の端点評価と符号付き量を補足。 ### ma-0158 — ma-fundamental-theorem 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, standard。 条件：連続fについてF(x)＝∫₀ˣ f(t)dt。F′(x)は？ 自作導出：F(x＋h)−F(x)＝∫ₓˣ⁺ʰ f(t)dtなので、その差商は短い区間でのfの平均値です。fがxで連続なら、hを0へ近づけるとこの平均はf(x)へ近づき、F′(x)＝f(x)になります。積分した量の変化率を取っているので、fをさらに微分したf′(x)ではありません。連続という条件が、近くの値をf(x)へそろえる役割を持ちます。 選択肢の個別検算： - a「0」：f常に1ならF′1で0でない。 - b「f(x)」：連続性で区間平均→f(x)。 - c「f′(x)」：f常に1ならf′0だがF′1。 - d「f(0)」：f(t)＝tならF′x≠f(0)一般。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：積分の差商から基本定理の根拠を示す。 ### ma-0159 — ma-integration-by-parts 旧revision 2 / topic 式・関数 / high, advanced。 条件：∫₀¹ x eˣ dxは？ 自作導出：部分積分で、xを微分する側、eˣを積分する側にすると、∫₀¹ x eˣ dx＝［x eˣ］₀¹−∫₀¹eˣ dxです。境界の項はe、残る積分は［eˣ］₀¹＝e−1なので、e−（e−1）＝1になります。積の微分（x eˣ）′＝eˣ＋x eˣを並べ替えて積分した式が、ここで使う部分積分です。 選択肢の個別検算： - a「e」：2.718281828459045 ≠ 導出値 1。 - b「2−e」：-0.7182818284590451 ≠ 導出値 1。 - c「1」：1 ＝ 導出値 1。 - d「e−1」：1.718281828459045 ≠ 導出値 1。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：部分積分の境界項と残る積分を全評価。 ### ma-0160 — ma-improper-integral 旧revision 1 / topic 式・関数 / university, advanced。 条件：∫₁∞ 1/x² dxは？ 自作導出：無限大をそのまま端点へ代入せず、まずR＞1について∫₁ᴿ x⁻² dx＝［−1/x］₁ᴿ＝1−1/Rと計算します。R→∞で1/R→0となるので、広義積分の値は1です。区間が無限に長くても、この関数では遠い部分の寄与が小さくなり、有限の値へ収束します。 選択肢の個別検算： - a「発散する」：Infinity ≠ 導出値 1。 - b「0」：0 ≠ 導出値 1。 - c「2」：2 ≠ 導出値 1。 - d「1」：1 ＝ 導出値 1。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：広義積分を有限上端の評価から説明。 ### ma-0167 — ma-triangle-angle 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：三角形の2角が50°、60°。残りの角は？ 自作導出：三角形の内角を合わせると180°なので、残る角は180−50−60＝70°です。二つの既知の角の和110°を、そのまま残りの角にはしません。180°という和は、頂点を通り反対の辺に平行な線を引くと、他の二角をその頂点の角に並べて一直線にできることから説明できます。 選択肢の個別検算： - a「130°」：130 ≠ 導出値 70。 - b「80°」：80 ≠ 導出値 70。 - c「70°」：70 ＝ 導出値 70。 - d「110°」：110 ≠ 導出値 70。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：途中値と内角和の根拠を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The angles of a triangle sum to 180°, so the remaining angle is 180 − 50 − 60 = 70°. ### ma-0169 — ma-triangle-area 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：底辺8 cm、その底辺への高さ5 cmの三角形の面積は？ 自作導出：同じ三角形をもう一つ合わせると、底辺8 cm、高さ5 cmの平行四辺形になります。その面積8×5＝40 cm²の半分なので、三角形は20 cm²です。高さは選んだ底辺への垂直な距離を使います。8×5のままなら二枚分の面積で、8＋5は面積を求める計算ではありません。 選択肢の個別検算： - a「20 cm²」：20 ＝ 導出値 20。 - b「40 cm²」：40 ≠ 導出値 20。 - c「13 cm²」：13 ≠ 導出値 20。 - d「26 cm²」：26 ≠ 導出値 20。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：半分の理由と面積の途中値を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Two copies form a parallelogram with the same base and height. The triangle's area is half of 8 × 5, or 20 cm². ### ma-0170 — ma-parallelogram-area 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：平行四辺形の底辺6 cm、垂直な高さ4 cm、斜辺5 cm。面積は？ 自作導出：面積に使うのは底辺6 cmと、それへ垂直な高さ4 cmなので、6×4＝24 cm²です。端の三角形を切って反対へ移すと、同じ底辺と高さの長方形にできます。5 cmの斜辺は垂直な幅ではないため、6×5とはしません。底辺と高さが変わらなければ、斜めの傾きだけが変わっても面積は同じです。 選択肢の個別検算： - a「15 cm²」：15 ≠ 導出値 24。 - b「24 cm²」：24 ＝ 導出値 24。 - c「30 cm²」：30 ≠ 導出値 24。 - d「20 cm²」：20 ≠ 導出値 24。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：切り移しと高さ・斜辺を具体計算で比較。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Rearranging a triangular end gives a rectangle with base 6 and height 4. The area is 6 × 4 = 24 cm². The sloping side is not the height. ### ma-0171 — ma-trapezoid-area 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：台形の平行な2辺が3 cm、7 cm、高さ4 cm。面積は？ 自作導出：同じ台形を逆向きにもう一枚合わせると、底辺3＋7＝10 cm、高さ4 cmの平行四辺形になります。二枚分が10×4＝40 cm²なので、一枚は40÷2＝20 cm²です。上底と下底を足してから半分にするのは、この二枚分の面積を一枚分へ戻すためです。 選択肢の個別検算： - a「28 cm²」：28 ≠ 導出値 20。 - b「12 cm²」：12 ≠ 導出値 20。 - c「20 cm²」：20 ＝ 導出値 20。 - d「40 cm²」：40 ≠ 導出値 20。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：台形公式の二枚の構成を説明。 ### ma-0172 — ma-rhombus-area 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：ひし形の対角線が6 cmと8 cm。面積は？ 自作導出：ひし形の対角線は垂直に交わり、互いを二等分します。四つの直角三角形は、それぞれ底辺3 cm、高さ4 cmで面積が3×4÷2＝6 cm²です。合計は6×4＝24 cm²になります。対角線の積6×8＝48をそのまま使うと、ひし形の面積を二倍に数えてしまいます。 選択肢の個別検算： - a「48 cm²」：48 ≠ 導出値 24。 - b「28 cm²」：28 ≠ 導出値 24。 - c「14 cm²」：14 ≠ 導出値 24。 - d「24 cm²」：24 ＝ 導出値 24。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：四三角形の寸法と各面積を示す。 ### ma-0174 — ma-circle-area 旧revision 1 / topic 図形 / elementary, standard。 条件：直径10 cmの円の面積をπで表すと？ 自作導出：直径10 cmは半径の二倍なので、半径は10÷2＝5 cmです。円の面積はπr²を使い、π×5²＝25π cm²になります。直径10をそのまま二乗した100πは半径を取り違えています。円周に使う長さの式と違い、面積では半径を二乗して単位もcm²にします。 選択肢の個別検算： - a「50π cm²」：50 ≠ 導出値 25。 - b「25π cm²」：25 ＝ 導出値 25。 - c「100π cm²」：100 ≠ 導出値 25。 - d「10π cm²」：10 ≠ 導出値 25。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：半径への換算と平方単位を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The radius is half the diameter, or 5 cm. The area is πr² = 25π cm². ### ma-0183 — ma-polygon-angle-sum 旧revision 1 / topic 図形 / middle, standard。 条件：六角形の内角の和は？ 自作導出：六角形を重ならない四つの三角形へ分けます。各三角形の内角和180°を合わせて4×180＝720°です。六つの頂点があるから180°を六倍するのではありません。一般にn角形をn−2個の三角形へ分ける考えが、この計算の理由です。一頂点からの扇形の分割は凸多角形で使える方法です。 選択肢の個別検算： - a「900°」：900 ≠ 導出値 720。 - b「1080°」：1080 ≠ 導出値 720。 - c「720°」：720 ＝ 導出値 720。 - d「540°」：540 ≠ 導出値 720。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：内角和の三角形個数と頂点数を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A simple hexagon can be divided into four triangles, so its interior angle sum is 4 × 180° = 720°. ### ma-0186 — ma-ssa-insufficient 旧revision 1 / topic 図形 / middle, advanced。 条件：一般の三角形で「2辺とその間でない1角が等しい」から常に合同と言える？ 自作導出：間ではない角を使う条件では、同じ二辺と一角を持つ三角形が二通りできることがあります。例えばa＝1、b＝√2、角A＝30°なら、正弦定理からsin B＝√2/2となり、B＝45°と135°の両方で三角形が成立します。残る角は105°と15°で形が違います。二辺の間の角を固定するSASとは条件が異なります。 選択肢の個別検算： - a「必ず直角三角形」：A30,B45,C105は直角でない。 - b「言えない」：同じa,b,AでB45/135の非合同二形。 - c「必ず言える」：上の二形が合同でない反例。 - d「必ず相似にもならない」：例えば同一三角形二枚は同じ条件かつ相似。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：SSA曖昧性を具体的二解の構成で示す。 ### ma-0190 — ma-similar-area 旧revision 2 / topic 図形 / middle, standard。 条件：相似な図形の長さの比が3：4。面積の比は？ 自作導出：相似な図形で長さの比が3：4なら、面積の比は3²：4²＝9：16です。三角形なら底辺も高さも同じ割合で変わるので、底辺×高さ÷2に二つの倍率が入ります。一方向だけの3：4をそのまま面積の比にはしません。27：64は三方向で倍率が入る相似な立体の体積の比です。 選択肢の個別検算： - a「27：64」：27:64は体積比。 - b「9：16」：9:16は二乗比。 - c「3：4」：3:4は長さ比。 - d「6：16」：6:16＝3:8で二乗比違い。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：面積の二方向の倍率を具体化。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Scaling lengths multiplies each of two dimensions by the scale factor. Areas scale by its square, giving 3²:4² = 9:16. ### ma-0192 — ma-midsegment 旧revision 1 / topic 図形 / middle, standard。 条件：三角形で2辺の中点を結ぶ線分と残りの辺の関係は？ 自作導出：共通の頂点を原点とし、残る頂点の位置ベクトルをu、vとします。二つの中点はu/2、v/2なので、その間のベクトルは（v−u）/2です。残る辺のベクトルv−uと同じ向きで長さが半分となります。従って中点を結ぶ線分は残る辺に平行で、その長さは半分です。 選択肢の個別検算： - a「垂直で長さは半分」：一般に同方向なので垂直でない。 - b「平行で長さは同じ」：長さ半分で同長でない。 - c「常に交わる」：非退化三角形で別の平行線上。 - d「平行で長さは半分」：ベクトルが残る辺の1/2。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：定理名から端点ベクトルの導出へ補強。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：If the shared vertex is taken as the origin, the two midpoint vectors are half the endpoint vectors. Their difference is half the third-side vector, so the segment is parallel and half as long. ### ma-0195 — ma-inscribed-angle 旧revision 1 / topic 図形 / middle, standard。 条件：同じ弧に対する中心角が100°。円周角は？ 自作導出：同じ弧に対する円周角は、中心角の半分です。与えられた中心角100°から100÷2＝50°と求めます。円の中心を円周角の頂点と弧の両端へ結ぶと二等辺三角形ができ、等しい底角と三角形の内角和からこの半分の関係をたどれます。どちらの角も同じ弧を見ているという条件を確かめます。 選択肢の個別検算： - a「200°」：200 ≠ 導出値 50。 - b「80°」：80 ≠ 導出値 50。 - c「50°」：50 ＝ 導出値 50。 - d「100°」：100 ≠ 導出値 50。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：半角関係の数値と幾何的根拠を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：An inscribed angle subtending the same arc is half the central angle. Half of 100° is 50°. ### ma-0196 — ma-cyclic-quadrilateral 旧revision 2 / topic 図形 / middle, standard。 条件：凸四角形ABCDの4頂点が同じ円周上に順に並ぶ。角Aが110°なら角Cは？ 自作導出：角Aと角Cは、円を二つに分けるそれぞれの弧を見ています。対応する中心角の和は360°で、円周角はその半分なので、A＋C＝180°です。従ってC＝180−110＝70°です。AとCが同じ弧を見るとして110°をそのまま写すのではなく、向かい合う二角であることを使います。 選択肢の個別検算： - a「110°」：110 ≠ 導出値 70。 - b「55°」：55 ≠ 導出値 70。 - c「90°」：90 ≠ 導出値 70。 - d「70°」：70 ＝ 導出値 70。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：二弧の和から対角和と実値を導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Angles A and C subtend the two arcs that together form the full circle. Their inscribed angles sum to 180°, so C = 180° − 110° = 70°. ### ma-0199 — ma-cone-volume 旧revision 1 / topic 図形 / middle, standard。 条件：底面半径3 cm、高さ4 cmの円錐の体積は？ 自作導出：円錐の底面積はπ×3²＝9π cm²です。底面と高さが同じ円柱なら体積は9π×4＝36π cm³ですが、円錐はその1/3なので12π cm³になります。断面の面積は頂点からの距離の二乗に比例し、その割合を高さ方向に積分すると1/3が得られます。高さ4 cmと斜めの辺の長さも取り違えないようにします。 選択肢の個別検算： - a「9π cm³」：9 ≠ 導出値 12。 - b「16π cm³」：16 ≠ 導出値 12。 - c「12π cm³」：12 ＝ 導出値 12。 - d「36π cm³」：36 ≠ 導出値 12。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：底面/円柱/円錐の途中値と1/3根拠を補足。 ### ma-0201 — ma-distance-coordinate 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：平面の点(1,2)と(4,6)の距離は？ 自作導出：横の差は4−1＝3、縦の差は6−2＝4です。この二差を直角をはさむ辺とする三角形を作り、距離は√（3²＋4²）＝√25＝5です。3＋4＝7は横と縦に折れて進んだ長さで、二点をまっすぐ結んだ距離ではありません。25は距離の二乗なので、最後に平方根を取ります。 選択肢の個別検算： - a「5」：5 ＝ 導出値 5。 - b「7」：7 ≠ 導出値 5。 - c「25」：25 ≠ 導出値 5。 - d「√7」：2.6457513110645907 ≠ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：直線距離と折れ道・二乗を区別。 ### ma-0205 — ma-perpendicular-slope 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：傾き2の直線に垂直な直線の傾きは？ 自作導出：傾き2の直線の方向を（1、2）、相手の傾きmの方向を（1、m）とします。垂直なら内積1×1＋2m＝0なので、m＝−1/2です。例えば（1、2）に垂直な方向（2、−1）は傾き−1/2を持ちます。符号を変えた−2だけでは、二方向の内積が0になりません。 選択肢の個別検算： - a「−1/2」：1＋2×（−1/2）＝0。 - b「1/2」：内積2。 - c「−2」：内積−3。 - d「2」：内積5。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：負の逆数条件を方向ベクトルで導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Direction vectors (1, 2) and (1, m) are perpendicular when their dot product 1 + 2m is zero. Thus m = −1/2. ### ma-0206 — ma-point-line-distance 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：点(0,0)と直線3x＋4y−10＝0の距離は？ 自作導出：直線3x＋4y＝10の法線方向は（3、4）で、その長さは√（3²＋4²）＝5です。原点からその方向へ距離dだけ進むと、3x＋4yは5dになるので、5d＝10からd＝2です。式全体を同じ数で倍しても直線は変わらないため、定数10だけでなく法線の長さで割って距離を求めます。 選択肢の個別検算： - a「√10」：3.1622776601683795 ≠ 導出値 2。 - b「2」：2 ＝ 導出値 2。 - c「10」：10 ≠ 導出値 2。 - d「5」：5 ≠ 導出値 2。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：公式の分母を法線の長さとして説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The normal vector (3, 4) has length 5. The line is 10/5 = 2 units from the origin in that normal direction. ### ma-0208 — ma-sine-law 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：三角形で辺a＝5、対角A＝30°。外接円の半径Rは？ 自作導出：拡張した正弦定理はa＝2R sin Aです。a＝5、sin30°＝1/2を入れると5＝2R×1/2＝Rなので、外接円の半径は5です。辺aはその円の弦で、直径2Rとは限りません。a/sin A＝10で出る量は直径2Rなので、半径を聞かれたら二分の一にします。 選択肢の個別検算： - a「10」：10 ≠ 導出値 5。 - b「2.5」：2.5 ≠ 導出値 5。 - c「5√3」：8.660254037844386 ≠ 導出値 5。 - d「5」：5 ＝ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：拡張正弦定理の半径と直径を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The extended sine rule gives a = 2R sin A. Hence 5 = 2R × 1/2 = R, so R = 5. ### ma-0216 — ma-triangle-centroid 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：三角形の頂点が(0,0)、(6,0)、(0,3)。重心は？ 自作導出：三角形の重心は三頂点の座標の平均です。横は（0＋6＋0）/3＝2、縦は（0＋0＋3）/3＝1なので、（2、1）です。横と縦を別々に平均してから組にします。一辺の中点（3、1.5）は二頂点の平均で、三頂点の平均ではありません。 選択肢の個別検算： - a「(3,1.5)」：（3,1.5）は斜辺中点。 - b「(6,3)」：頂点座標を足すだけで割ってない。 - c「(1,2)」：横縦を逆転。 - d「(2,1)」：三頂点平均（2,1）。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：各座標の実数値平均と中点との区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The centroid is the average of the three vertex vectors: ((0 + 6 + 0)/3, (0 + 0 + 3)/3) = (2, 1). ### ma-0219 — ma-hyperbola 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：x²−y²＝1の漸近線は？ 自作導出：y²＝x²−1なので、上下の枝はy＝±√（x²−1）です。|x|が大きくなると、√（x²−1）−|x|＝−1/［√（x²−1）＋|x|］が0へ近づきます。従って枝と直線y＝x、y＝−xとの距離が小さくなり、この二直線が漸近線です。式の定数1を単に0へ変えるだけでなく、差が0へ近づくことを確認します。 選択肢の個別検算： - a「y＝1とy＝−1」：枝の|y|は無限に大きく水平±1でない。 - b「x＝1とx＝−1」：枝の|x|は無限に大きく垂直±1でない。 - c「y＝xとy＝−x」：上下枝で±|x|との差→0。 - d「x＝0とy＝0」：枝は軸から遠ざかり両軸でない。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：漸近線の差の収束を有理化で証明。 ### ma-0220 — ma-parabola-focus 旧revision 1 / topic 図形 / high, standard。 条件：放物線y²＝4xの焦点は？ 自作導出：y²＝4xは、点（1、0）と直線x＝−1からの距離が等しい点の集まりです。実際に距離の二乗を比べると（x−1）²＋y²＝（x＋1）²からy²＝4xになります。したがって焦点は（1、0）です。係数4をそのまま焦点のx座標にせず、標準形y²＝4pxのp＝1を読み取ります。 選択肢の個別検算： - a「(0,1)」：原点から（0,1）への距離1、対応軸条件違い。 - b「(4,0)」：p4ならy²＝16x。 - c「(−1,0)」：p−1ならy²＝−4x。 - d「(1,0)」：焦点（1,0）準線x−1から等距離。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：放物線の定義から焦点を確かめる。 ### ma-0224 — ma-inverse-matrix 旧revision 1 / topic 図形 / university, standard。 条件：行が(1,1),(0,1)の行列の逆行列は？ 自作導出：もとの行列はベクトル（x、y）を（x＋y、y）へ移します。戻すには第一成分から第二成分を引くので、逆行列の行は（1、−1）、（0、1）です。行列を掛けても第一行は（1、0）、第二行は（0、1）となり、単位行列になります。各成分を一つずつ逆数にする操作ではありません。 選択肢の個別検算： - a「行(1,1),(0,1)」：積の行（1,2）/（0,1）。 - b「行(1,0),(1,1)」：積の行（2,1）/（1,1）。 - c「行(−1,1),(0,−1)」：積の行（−1,0）/（0,−1）。 - d「行(1,−1),(0,1)」：左右積I、行（1,0）/（0,1）。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：逆写像と全積成分で逆行列を説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Multiplying it by the matrix with rows (1, −1) and (0, 1) in either order gives the identity. The second matrix reverses the first matrix's shear. ### ma-0228 — ma-rank-nullity 旧revision 1 / topic 図形 / university, standard。 条件：R⁵→R³の線形写像の階数が2。核の次元は？ 自作導出：核は、線形写像で0へ移る入力ベクトルの集まりです。階数2は出力に残る独立な方向が二つという意味で、入力の次元5から残りの方向数を引くと、核の次元は5−2＝3です。使うのは定義域R⁵の次元です。出力側R³の次元3から2を引く計算ではありません。 選択肢の個別検算： - a「1」：1 ≠ 導出値 3。 - b「2」：2 ≠ 導出値 3。 - c「5」：5 ≠ 導出値 3。 - d「3」：3 ＝ 導出値 3。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：核と階数の意味、定義域の次元を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The domain dimension equals rank plus kernel dimension. Thus the kernel dimension is 5 − 2 = 3; use the domain's dimension, not the codomain's. ### ma-0231 — ma-subspace 旧revision 1 / topic 図形 / university, standard。 条件：R²の部分空間はどれ？ 自作導出：部分空間は、原点を含み、和と実数倍を取っても外へ出ない集合です。x＋y＝0の解は（t、−t）と書け、足しても実数倍してもこの形のままです。x＋y＝1や半径1の円周は原点を含みません。x＞0の点も原点が入らず、負数倍すると条件から外れます。 選択肢の個別検算： - a「x＞0の点の集合」：0を含まず負数倍でも外れる。 - b「半径1の円周」：0を含まず2倍で円周外。 - c「x＋y＝0の点の集合」：（t,−t）の和と実数倍、0で閉じる。 - d「x＋y＝1の点の集合」：0を含まず二点和がx＋y2。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：三条件を各選択肢へ適用。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The solutions of x + y = 0 include the origin and are closed under addition and real scalar multiplication. The other sets fail at least one of these requirements. ### ma-0235 — ma-diagonalization 旧revision 1 / topic 図形 / university, advanced。 条件：異なる実固有値を2つ持つ実2×2行列について必ず正しいのは？ 自作導出：異なる二つの実固有値に属する固有ベクトルは、互いの定数倍にはなれません。同じ方向なら、その方向が同時に異なる二倍率で伸びることになり矛盾するためです。二次元で独立な二ベクトルは基底を作れ、その基底で行列を表せば対角成分が固有値となります。固有値が異なるだけで、対称行列や正の成分の行列になるわけではありません。 選択肢の個別検算： - a「行列式が0」：対角2/3はdet6≠0。 - b「全成分が正」：対角−1/2で負成分を持つ。 - c「実数上で対角化できる」：二独立実固有ベクトルを基底にできる。 - d「対称行列である」：行（1,1）/（0,2）は異なる固有値かつ非対称。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：独立性と固有ベクトル基底から対角化を説明。 ### ma-0240 — ma-noncommuting 旧revision 2 / topic 図形 / university, advanced。 条件：同じサイズの正方行列A,Bの積について一般に正しいのは？ 自作導出：例えばAを対角成分2、1の行列、Bを行（1、1）、（0、1）の行列とすると、ABの第一行は（2、2）、BAの第一行は（2、1）です。順番を変えると、加えてから伸ばすか、伸ばしてから加えるかが違い、結果が一致しません。同じサイズの正方行列なら両順の積は定義できますが、常に可換とは限りません。 選択肢の個別検算： - a「必ずAB＝BA」：例でAB12要素2、BA12要素1。 - b「必ずAB＝0」：A＝B＝Iなら積I。 - c「両方とも積が定義できない」：同サイズ正方で内側次元一致。 - d「ABとBAは異なることがある」：上の例でAB≠BA。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：未提示の非可換例を実際の積にする。 ### ma-0246 — ma-mean 旧revision 1 / topic 確率・統計 / elementary, standard。 条件：データ2、4、9の平均値は？ 自作導出：平均は合計をデータの個数で割った値です。2＋4＋9＝15を三個へ均等に分けるので、15÷3＝5です。15は合計、4は中央にある値、9は最大値で、聞かれた平均とは役割が違います。平均5が元のデータに入っていなくても問題ありません。三個分へ戻すと5×3＝15になります。 選択肢の個別検算： - a「15」：15 ≠ 導出値 5。 - b「5」：5 ＝ 導出値 5。 - c「4」：4 ≠ 導出値 5。 - d「9」：9 ≠ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：平均の定義と各要約値の役割を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Add the three values and divide by their number: (2 + 4 + 9)/3 = 15/3 = 5. ### ma-0247 — ma-median-odd 旧revision 1 / topic 確率・統計 / elementary, standard。 条件：データ1、3、8、10、20の中央値は？ 自作導出：中央値は、データを小さい順に並べたときの中央の値です。五個の中央は（5＋1）/2＝三番目なので、1、3、8、10、20の中央値は8です。前に二個、後ろに二個残ることを確認します。五値の合計42を5で割る8.4は平均であり、中央の位置を探す操作とは違います。 選択肢の個別検算： - a「10」：10 ≠ 導出値 8。 - b「8.4」：8.4 ≠ 導出値 8。 - c「8」：8 ＝ 導出値 8。 - d「3」：3 ≠ 導出値 8。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：中央位置の計算と平均との差を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The five values are already ordered. The middle value is the third, 8. A median uses position rather than the sum of values. ### ma-0250 — ma-range 旧revision 1 / topic 確率・統計 / elementary, standard。 条件：データ4、7、9、15の範囲（最大−最小）は？ 自作導出：範囲は、最大値と最小値がどれだけ離れているかを表します。4、7、9、15では最大15、最小4なので、15−4＝11です。途中の7と9を足したり、項目数で割ったりしません。すべての値へ同じ数を足しても両端の差は11のままなので、範囲は値の位置より広がりを見る量です。 選択肢の個別検算： - a「35」：35 ≠ 導出値 11。 - b「11」：11 ＝ 導出値 11。 - c「15」：15 ≠ 導出値 11。 - d「4」：4 ≠ 導出値 11。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：範囲の実値と平行移動への不変性を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The largest value is 15 and the smallest is 4. Their difference is 15 − 4 = 11. ### ma-0253 — ma-weighted-mean 旧revision 1 / topic 確率・統計 / elementary, standard。 条件：3人の平均10点と2人の平均20点を合わせた平均は？ 自作導出：三人の合計点は3×10＝30点、二人の合計点は2×20＝40点です。全五人の合計70点を5で割り、平均は14点になります。二群の平均10と20をそのまま平均した15点では、二人の群と三人の群へ同じ重みを与えてしまいます。まず各群の合計へ戻すと人数の違いを保てます。 選択肢の個別検算： - a「14点」：14 ＝ 導出値 14。 - b「15点」：15 ≠ 導出値 14。 - c「30点」：30 ≠ 導出値 14。 - d「12点」：12 ≠ 導出値 14。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：加重平均を人数と総点へ戻す。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The group totals are 3 × 10 = 30 and 2 × 20 = 40 points. Divide their total 70 by all five people to get 14 points. Group averages must be weighted by group size. ### ma-0256 — ma-survey-denominator 旧revision 1 / topic 確率・統計 / elementary, standard。 条件：40人に複数回答でAが25票、Bが20票。票数合計45から分かるのは？ 自作導出：両方を選んだ人数をkとすると、AかBを選んだ人数は25＋20−k＝45−kです。この人数は全体40人を超えないので45−k≦40、従ってk≧5です。どちらも選ばない人がいれば、両方を選んだ人数は5人より多くなります。票数45を回答者45人に読み替えたり、重複を必ず5人と決めたりはできません。 選択肢の個別検算： - a「回答者は45人」：全体40人に反する。 - b「AかBだけを選んだ人が45人」：45人の異なる人は全体40を超える。 - c「全員が両方を選んだ」：全員両方ならA,B各40票のはず。 - d「両方を選んだ人が少なくとも5人」：45−k≦40よりk≧5。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：包含排除と下限の不等式を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：If no one chose both, A and B together could account for at most 40 votes. The extra five require at least five people choosing both. The overlap can be larger if some people chose neither. ### ma-0261 — ma-equiprobability 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, basic。 条件：公平な6面サイコロ1個で偶数が出る確率は？ 自作導出：公平な六面サイコロの結果1、2、3、4、5、6は、どれも同じ確率1/6です。偶数は2、4、6の三つなので、確率は3×1/6＝3/6＝1/2です。偶数・奇数という名前が二つあるからではなく、各分類に同じ数の目があることを確認して半分と判断します。 選択肢の個別検算： - a「1/2」：三つの目、3/6＝1/2。 - b「1/6」：一つの目だけの確率。 - c「2/3」：四つの目の確率で違う。 - d「1/3」：二つの目の確率で違う。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：原子結果の等確率と分類名を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The six outcomes are equally likely. Three, namely 2, 4 and 6, are even, so the probability is 3/6 = 1/2. ### ma-0262 — ma-sample-space 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：区別できる2枚の硬貨を投げる。各面が同確率で独立。結果は何通り？ 自作導出：第一の硬貨、第二の硬貨の順を固定して、表表、表裏、裏表、裏裏の四通りです。それぞれ第一の面二通りに第二の面二通りを合わせるので2×2＝4です。表裏と裏表は、どの硬貨が表かが違うため別の結果です。公平さと独立性から各結果の確率も1/2×1/2＝1/4になります。 選択肢の個別検算： - a「8通り」：8 ≠ 導出値 4。 - b「4通り」：4 ＝ 導出値 4。 - c「2通り」：2 ≠ 導出値 4。 - d「3通り」：3 ≠ 導出値 4。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：二硬貨の区別と全結果の積を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The ordered outcomes are HH, HT, TH and TT, giving four possibilities. HT and TH are distinct because the coins are distinguishable. ### ma-0263 — ma-at-least-one 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：公平な硬貨を独立に2回投げる。少なくとも1回表の確率は？ 自作導出：全結果は表表、表裏、裏表、裏裏で、それぞれ確率1/4です。「少なくとも一回表」は表表も含むので、前の三通りを合わせて3/4です。逆に一回も表がない裏裏を除き、1−1/4でも求められます。「ちょうど一回表」なら表裏と裏表だけとなり1/2なので、条件の言葉を区別します。 選択肢の個別検算： - a「1/4」：1/4は裏裏一結果。 - b「1」：裏裏は条件外で1でない。 - c「3/4」：表表/表裏/裏表の3/4。 - d「1/2」：1/2はちょうど一回表。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：少なくともとちょうどを結果一覧で区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The four equally likely outcomes are HH, HT, TH and TT. Only TT has no head, so the probability is 1 − 1/4 = 3/4. ### ma-0264 — ma-replacement 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：赤2個、青1個から1個ずつ2回、毎回戻して一様に引く。両方赤の確率は？ 自作導出：一回目に赤を引く確率は2/3です。引いた物を戻すので、二回目も赤二個、青一個から引き、赤の確率は2/3のままです。二回とも赤は（2/3）×（2/3）＝4/9になります。戻さないと一回目の赤の後は赤一個、青一個になり、二回目の条件が変わります。 選択肢の個別検算： - a「1/3」：1/3は戻さない赤赤。 - b「2/3」：2/3は一回赤のみ。 - c「2/9」：2/9は戻す赤青等の確率。 - d「4/9」：復元で毎回2/3、積4/9。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：復元する物と第二抽出の分母を明示。 ### ma-0265 — ma-without-replacement 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：赤2個、青1個から戻さず2個一様に引く。色が違う確率は？ 自作導出：赤をR1、R2、青をBと区別すると、二個の組はR1R2、R1B、R2Bの三通りで、どれも同じ確率です。色が違うのは後の二組なので2/3です。赤が二個あるのに「赤赤」「赤青」の二つの名前だけを同確率に数えてはいけません。順序つきでも全六通り中四通りが色違いとなり、4/6で同じ答えになります。 選択肢の個別検算： - a「2/3」：R1B/R2Bの2/3。 - b「1/3」：1/3は赤赤のみ。 - c「4/9」：4/9は復元赤赤。 - d「1/2」：色分類二名称は等確率でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：同色の物の区別と等確率の理由を補足。 EN判断：同じ数学的内容へ改訂。現行EN：There are three equally likely unordered pairs of distinct items. Two contain the blue item and one red item, so the probability is 2/3. ### ma-0266 — ma-dice-sum 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：公平な6面サイコロ2個を独立に投げる。和が7の確率は？ 自作導出：一個目の各目に二個目の六つの目が対応し、全体は6×6＝36通りです。和7は（1、6）、（2、5）、（3、4）、（4、3）、（5、2）、（6、1）の六通りなので、6/36＝1/6です。和が2から12まであることだけを数えても、それぞれの和に含まれる組数は同じではありません。 選択肢の個別検算： - a「1/12」：3/36で少な過ぎる。 - b「1/6」：6/36＝1/6。 - c「1/7」：1/7≠6/36。 - d「7/36」：有利組は7でなく6。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：有利な全組と和カテゴリーの非等確率を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 6 × 6 = 36 equally likely ordered pairs. Six have sum 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). The probability is 6/36 = 1/6. ### ma-0270 — ma-independent-history 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：公平な硬貨を独立に投げ、表が5回続いた。次が裏の確率は？ 自作導出：独立した試行では、前の結果を知っても次の確率は変わりません。公平な硬貨なので、表が五回続いた後も、次に裏が出る確率は1/2です。六回目までを最初から予測する特定の並びの確率と、五回の表を既に知った後の確率は別です。過去の偏りを埋め合わせるために次が裏になる、という規則はありません。 選択肢の個別検算： - a「5/6」：独立公平なので5/6でない。 - b「1/2」：条件を受けても1/2。 - c「1」：表も可能なので1でない。 - d「1/6」：独立公平なので1/6でない。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：既知の条件と全列の事前確率を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Independence means earlier outcomes do not change the next toss's probabilities. A fair coin still has probability 1/2 of tails. ### ma-0272 — ma-overlap-probability 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：P(A)＝0.6、P(B)＝0.5、P(AかつB)＝0.2。P(AまたはB)は？ 自作導出：P(A)＋P(B)には、AかつBの0.2が二回含まれています。一回分だけ引いて、P(AまたはB)＝0.6＋0.5−0.2＝0.9です。Aだけは0.4、Bだけは0.3、共通部分は0.2なので、三つを足しても0.9になります。「または」は両方起きる場合も含み、共通部分を全部捨てる意味ではありません。 選択肢の個別検算： - a「1.1」：1.1 ≠ 導出値 0.9。 - b「0.3」：0.3 ≠ 導出値 0.9。 - c「0.7」：0.7 ≠ 導出値 0.9。 - d「0.9」：0.9 ＝ 導出値 0.9。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：重複二回と排他的三部分の具体値を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Adding P(A) and P(B) counts the overlap twice. Subtract it once: 0.6 + 0.5 − 0.2 = 0.9. ### ma-0274 — ma-conditional-count 旧revision 1 / topic 確率・統計 / middle, standard。 条件：20人中、眼鏡あり8人。そのうち左利き2人。眼鏡ありと分かった人が左利きの確率は？ 自作導出：「眼鏡あり」と分かった時点で、比べる全体は20人から眼鏡のある8人へ絞られます。その中の左利きは2人なので、条件付き確率は2/8＝1/4です。2/20＝1/10は、全20人から眼鏡ありかつ左利きの人を選ぶ確率で、今回の条件とは分母が違います。 選択肢の個別検算： - a「1/2」：1/2は2/8でない。 - b「1/4」：条件8人中2、1/4。 - c「1/10」：2/20は無条件の交差確率。 - d「2/5」：8/20は眼鏡ありの確率。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：条件による標本空間の変更を対比。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The condition restricts the possible people to the eight glasses wearers. Two are left-handed, so the conditional probability is 2/8 = 1/4. ### ma-0278 — ma-histogram-density 旧revision 2 / topic 確率・統計 / high, standard。 条件：面積が度数に比例するヒストグラム。階級[0,10)と[10,30)の度数がともに10。棒の高さの比（前：後）は？ 自作導出：このヒストグラムでは面積が度数を表すので、高さは度数を階級の幅で割ります。前の高さは10/10＝1、後は10/20＝1/2で、高さの比は2：1です。後の階級は幅が二倍なので、同じ度数を表す面積にするには高さを半分にします。度数が同じだから高さも同じとは限りません。 選択肢の個別検算： - a「4：1」：4:1では面積比2:1。 - b「2：1」：高さ2:1で面積1:1。 - c「1：1」：高さ1:1では面積1:2。 - d「1：2」：高さ1:2では面積1:4。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：面積度数と異なる幅を具体計算で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Height is proportional to frequency divided by interval width. The heights are proportional to 10/10 = 1 and 10/20 = 1/2, so their ratio is 2:1. ### ma-0285 — ma-independence-equation 旧revision 1 / topic 確率・統計 / high, standard。 条件：AとBが独立である条件は？ 自作導出：独立なA、Bは、同時に起こる確率がP(AかつB)＝P(A)P(B)になります。P(B)＞0なら、Bが起きたという条件でP(A|B)＝P(AかつB)/P(B)＝P(A)になる関係です。排反は同時に起こらないことで、別の条件です。例えば独立な二コインの表はそれぞれ1/2ですが、同時に表になる確率1/4があります。 選択肢の個別検算： - a「P(AかつB)＝P(A)P(B)」：独立の積の定義。 - b「P(AかつB)＝0」：正の確率の独立コインで交差1/4。 - c「P(A)＝P(B)」：独立でP(A)≠P(B)も可能。 - d「P(AまたはB)＝1」：独立コインで和確率3/4≠1。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：独立を条件付き定義と排反の例で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Independence means the probability of their intersection is the product of their separate probabilities: P(A and B) = P(A)P(B). It is different from being mutually exclusive. ### ma-0286 — ma-bayes-balls 旧revision 1 / topic 確率・統計 / high, advanced。 条件：同確率で箱A,Bを選ぶ。Aは赤3青1、Bは赤1青3。一様に1個引いて赤。Aだった確率は？ 自作導出：Aを選んで赤となる確率は1/2×3/4＝3/8、Bを選んで赤となる確率は1/2×1/4＝1/8です。赤を見た後の全体は、この二つを合わせた1/2になります。Aの側を赤全体で割り、（3/8）/（1/2）＝3/4です。箱の選択確率1/2を、そのまま赤を見た後にも使うわけではありません。 選択肢の個別検算： - a「3/8」：3/8はAかつ赤の結合確率。 - b「3/4」：結合A赤3/8÷赤1/2＝3/4。 - c「1/2」：1/2は箱の事前確率。 - d「1/4」：1/4はB赤後の確率。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：ベイズの分母と結合確率を分ける。 ### ma-0288 — ma-variance-discrete 旧revision 1 / topic 確率・統計 / high, standard。 条件：Xが0と2をそれぞれ確率1/2で取る。分散は？ 自作導出：期待値は0×1/2＋2×1/2＝1です。分散は平均との差の二乗の平均なので、（0−1）²×1/2＋（2−1）²×1/2＝1です。元の値をそのまま二乗して平均した2は二次モーメントで、平均との差を取る段階が抜けています。平均との差を先に平均すると0になるため、広がりには二乗を使います。 選択肢の個別検算： - a「2」：2 ≠ 導出値 1。 - b「4」：4 ≠ 導出値 1。 - c「0」：0 ≠ 導出値 1。 - d「1」：1 ＝ 導出値 1。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：分散/二次モーメント/偏差平均を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The mean is 1. Both deviations, −1 and 1, have squared value 1, so their weighted average is 1. ### ma-0300 — ma-zero-correlation 旧revision 1 / topic 確率・統計 / high, advanced。 条件：Xが−1、0、1を同確率で取り、Y＝X²。正しいのは？ 自作導出：E[X]＝0で、E[XY]＝E[X³]＝（−1＋0＋1）/3＝0なので共分散は0です。両変数の分散は正だから相関も0になります。しかしX＝0と分かればYは必ず0で、P(Y＝0|X＝0)＝1は無条件のP(Y＝0)＝1/3と違います。相関0が示すのは直線的な関係がないことで、この二変数が独立という意味ではありません。 選択肢の個別検算： - a「相関0なので独立」：条件付き1対無条件1/3で非独立。 - b「Yは一定」：Yは0と1を取る。 - c「XとYは同じ変数」：X−1でY1、同変数でない。 - d「相関0でも独立ではない」：共分散0、条件付き確率違い。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：無相関と非独立を数値条件付き確率で証明。 ### ma-0301 — ma-pdf-not-probability 旧revision 1 / topic 確率・統計 / university, standard。 条件：連続確率変数の密度f(x)について正しいのは？ 自作導出：密度の高さそのものは確率ではありません。例えば区間［0、1/2］で高さ2、外側で0という密度は、面積2×1/2＝1なので有効です。区間の確率は密度を積分して求めるため、高さが1を超えても構いません。一方、密度は非負で、全体の積分が1という条件を満たす必要があります。 選択肢の個別検算： - a「1を超える値を取ってもよい」：幅1/2高さ2の密度が反例。 - b「必ずf(x)≦1」：同反例で高さ2＞1。 - c「f(x)が点の確率そのもの」：点確率0、高さ2で違う。 - d「負値も許される」：非負条件に反する。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：反例密度の幅と面積で高さ上限誤解を解く。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A density is nonnegative and integrates to 1 over the whole line. Its height may exceed 1: a uniform density of height 2 over an interval of width 1/2 still has total area 1. ### ma-0306 — ma-exponential-memoryless 旧revision 2 / topic 確率・統計 / university, standard。 条件：Xが正の率の指数分布、s,t≧0。無記憶性を表す式は？ 自作導出：率λ＞0の指数分布ではP(X＞u)＝e^(−λu)です。s、t≧0なら、条件付き確率はe^(−λ（s＋t）)/e^(−λs)＝e^(−λt)＝P(X＞t)になります。既にsだけ待った後でも、さらにt待つ確率の規則は同じです。条件なしのP(X＞s＋t)そのものがP(X＞t)と等しいのではありません。 選択肢の個別検算： - a「待ち時間が必ず一定」：待ち時間は連続に変わる分布。 - b「P(X＞s＋t ∣ X＞s)＝P(X＞t)」：交差/条件確率の比でe^−λt。 - c「P(X＞s＋t)＝P(X＞t)」：s＞0なら左にe^−λsが追加。 - d「Xが常に0」：正の率指数分布はX常に0でない。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：無記憶性を生存関数の比で導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Its survival probability has the form e⁻λu. The conditional probability is e⁻λ(s+t)/e⁻λs = e⁻λt, equal to P(X > t). ### ma-0308 — ma-covariance 旧revision 2 / topic 確率・統計 / university, standard。 条件：分散が有限なX,YのVar(X＋Y)の展開に入る共分散の項は？ 自作導出：U＝X−E[X]、V＝Y−E[Y]とすると、Var(X＋Y)＝E[(U＋V)²]です。二乗を展開すればE[U²]＋2E[UV]＋E[V²]となり、中の項は2Cov(X,Y)です。従ってVar(X＋Y)＝Var(X)＋Var(Y)＋2Cov(X,Y)。和の分散を単純に足すには、共分散が0になる条件を別に確かめます。 選択肢の個別検算： - a「Cov(X,Y)だけ」：係数1では交差項一つ欠落。 - b「Cov(X,Y)²」：二乗でなく線形の共分散。 - c「共分散の項はない」：X＝Y分散1で和分散4対足すだけ2。 - d「2Cov(X,Y)」：二つの交差項で2Cov。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：中心化と二乗展開で係数2を導出。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Centre both variables and square their sum. The two cross terms add to twice the expectation of the product of centred variables, giving 2Cov(X, Y). ### ma-0309 — ma-sample-mean-variance 旧revision 1 / topic 確率・統計 / university, standard。 条件：独立同分布で分散σ²のn個の標本平均の分散は？ 自作導出：独立な標本の和は分散がnσ²です。標本平均はその和をnで割った変数なので、分散には係数（1/n）²が掛かり、nσ²/n²＝σ²/nです。n²で割るだけのσ²/n²では、和がn個分のばらつきを持つことを落としています。独立性がない場合は共分散の項も入り、この計算をそのまま使えません。 選択肢の個別検算： - a「σ²/n」：nσ²×1/n²＝σ²/n。 - b「σ²」：n2,σ²1で0.5≠1。 - c「nσ²」：n2,σ²1で0.5≠2。 - d「σ²/n²」：n2,σ²1で0.5≠0.25。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：和の分散と平均倍率の二乗を分離。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Independence makes the variance of their sum nσ². Multiplying the sum by 1/n multiplies its variance by 1/n², giving σ²/n. ### ma-0310 — ma-unbiased-variance 旧revision 2 / topic 確率・統計 / university, standard。 条件：有限分散の独立同分布標本n個（n≧2）で不偏標本分散を作る際、偏差平方和を何で割る？ 自作導出：標本平均との差の二乗和は、真の平均μからの二乗和よりn（X̄−μ）²だけ小さくなります。期待値を取るとnσ²−n×（σ²/n）＝（n−1）σ²なので、n−1で割れば母分散σ²に平均として一致します。標本平均を同じデータから求めることによる小さめの偏りを補うためで、単に人数nで割る計算とは違います。 選択肢の個別検算： - a「√n」：n3で期待2σ²/√3≠σ²。 - b「n−1」：期待（n−1）σ²をn−1で割る。 - c「n」：期待（n−1）σ²/nで小さい。 - d「n＋1」：期待（n−1）σ²/（n＋1）で小さい。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：自由度の説明を期待値恒等式で具体化。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The identity Σ(Xᵢ − X̄)² = Σ(Xᵢ − μ)² − n(X̄ − μ)² gives expected value nσ² − σ² = (n − 1)σ². Divide by n − 1 to obtain expectation σ². ### ma-0311 — ma-confidence-meaning 旧revision 1 / topic 確率・統計 / university, advanced。 条件：頻度主義の95％信頼区間の意味として適切なのは？ 自作導出：同じ標本抽出と区間の作り方を何度も繰り返すと、出来た区間のおよそ95％が固定した真の母数を含む、という意味です。母数が毎回動くのではなく、標本によって区間が変わります。既に得た一つの区間について、内部の各値へ95％の確率を割り当てる説明ではありません。次の観測値の範囲を予測する区間とも区別します。 選択肢の個別検算： - a「真値が毎回変わる」：母数は固定で変動するのは区間。 - b「次の観測の95％が必ず区間内」：母数用区間で次観測の95％保証でない。 - c「同じ作り方を反復すると約95％が真値を含む」：反復区間手続きの被覆割合。 - d「得た区間内の各値の確率が95％」：区間内各値の確率95％は定義違い。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：母数固定と区間変動、予測区間の違いを補足。 ### ma-0313 — ma-pvalue-meaning 旧revision 1 / topic 確率・統計 / university, advanced。 条件：p値の意味は？ 自作導出：p値は、帰無仮説が正しいという条件の下で、観測した検定統計量以上に極端な結果が出る確率です。何を極端とするかは、統計量と片側・両側などの検定方法で決まります。これは「帰無仮説の下でデータをどう見るか」であり、「このデータの下で帰無仮説が真である確率」へ条件を逆転した量ではありません。効果の大きさも別に評価します。 選択肢の個別検算： - a「帰無仮説の下で観測以上に極端な結果が出る確率」：帰無仮説条件のtail確率。 - b「帰無仮説が真である確率」：仮説が真の事後確率へ条件逆転。 - c「対立仮説が真である確率」：対立仮説の事後確率でない。 - d「効果の大きさ」：統計的tail確率で効果量でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：定義の条件の向きと極端さを明示。 ### ma-0320 — ma-bayesian-update 旧revision 1 / topic 確率・統計 / university, advanced。 条件：pに一様事前分布Beta(1,1)、ベルヌーイ成功2、失敗1を観測。事後分布は？ 自作導出：Beta(α、β)の密度はp^(α−1)（1−p）^(β−1)に比例します。Beta(1、1)は一様なので、成功二回・失敗一回の尤度p²（1−p）を掛けると、指数は2と1になります。α−1＝2、β−1＝1より事後分布はBeta(3、2)です。成功数と失敗数を、そのまま新しいパラメータにするのではありません。 選択肢の個別検算： - a「Beta(2,1)」：密度pで成功失敗指数と不一致。 - b「Beta(1,1)」：一様で観測後尤度を反映しない。 - c「Beta(2,3)」：密度p（1−p）²で成功失敗逆。 - d「Beta(3,2)」：密度p²（1−p）で一致。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：密度の指数とパラメータの一差を明示。 ### ma-0321 — ma-length-unit 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, basic。 条件：2.5 mは何cm？ 自作導出：1 m＝100 cmなので、2.5 m＝2.5×100＝250 cmです。同じ長さを小さい単位cmで数えるため、数値は大きくなります。250 cmを100で割ると元の2.5 mに戻ることも確かめます。単位の変更で物の長さが変わるのではなく、何個分として数えるかが変わっています。 選択肢の個別検算： - a「250 cm」：250 ＝ 導出値 250。 - b「25 cm」：25 ≠ 導出値 250。 - c「2500 cm」：2500 ≠ 導出値 250。 - d「0.025 cm」：0.025 ≠ 導出値 250。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：換算の向きと逆換算を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 100 cm in 1 m, so multiply by 100: 2.5 × 100 = 250 cm. ### ma-0322 — ma-capacity-unit 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, basic。 条件：750 mLは何L？ 自作導出：1 L＝1000 mLなので、750 mL＝750÷1000＝0.75 Lです。LはmLより大きい単位だから、同じ液量を表す数値は小さくなります。1 Lに届かない750 mLが、1 Lより小さい0.75 Lになるかを見積もってから、0.75×1000＝750 mLと戻して確認できます。 選択肢の個別検算： - a「750000 L」：750000 ≠ 導出値 0.75。 - b「0.75 L」：0.75 ＝ 導出値 0.75。 - c「7.5 L」：7.5 ≠ 導出値 0.75。 - d「75 L」：75 ≠ 導出値 0.75。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：大小の見積もりと逆換算を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 1000 mL in 1 L, so divide by 1000: 750/1000 = 0.75 L. ### ma-0323 — ma-area-unit 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：1 m²は何cm²？ 自作導出：1 m²は、一辺1 mの正方形の面積です。一辺をcmへ直すと100 cmなので、面積は100×100＝10000 cm²になります。長さの100倍が縦と横の二方向へ入るため、面積の係数は100²です。100 cm²は一辺10 cmの正方形の面積で、1 m四方の正方形より小さくなっています。 選択肢の個別検算： - a「1000 cm²」：1000 ≠ 導出値 10000。 - b「10 cm²」：10 ≠ 導出値 10000。 - c「10000 cm²」：10000 ＝ 導出値 10000。 - d「100 cm²」：100 ≠ 導出値 10000。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：二方向換算と誤答の正方形を比較。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Each side of a one-metre square is 100 cm. Its area is 100 × 100 = 10000 cm². Area conversion squares the length-conversion factor. ### ma-0328 — ma-discount 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：定価2400円を25％引き。支払額は？ 自作導出：25％引きは定価の25％を取り除くことで、支払うのは残り75％です。値引きは2400×0.25＝600円、支払額は2400−600＝1800円です。2400×0.75でも同じ結果になります。600円は安くなった額で、支払額ではありません。割合25を25円として引く計算とも区別します。 選択肢の個別検算： - a「600円」：600 ≠ 導出値 1800。 - b「2375円」：2375 ≠ 導出値 1800。 - c「3000円」：3000 ≠ 導出値 1800。 - d「1800円」：1800 ＝ 導出値 1800。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：値引きと支払額、百分率と金額を区別。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The discount is 2400 × 0.25 = 600 yen. Subtracting gives 1800 yen, or 75% of the original price. ### ma-0330 — ma-unit-price 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：300 gで450円と500 gで700円。100 gあたり安いのは？ 自作導出：300 gを100 g三つ分と見れば、450÷3＝150円/100 gです。500 gの方は100 g五つ分なので、700÷5＝140円/100 gです。同じ100 gでは後者の方が10円安くなります。商品の合計価格だけなら450円の方が小さいですが、量が違うので単位量をそろえて判断します。 選択肢の個別検算： - a「情報不足」：両単価は条件から計算可能。 - b「500 gで700円」：140＜150で第二が安い。 - c「300 gで450円」：合計価格450は小さいが単価150＞140。 - d「同じ」：単価150と140は等しくない。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：単位量の分母と合計価格の差を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The first offer costs 450/3 = 150 yen per 100 g. The second costs 700/5 = 140 yen per 100 g, so the second is cheaper. ### ma-0331 — ma-packing-ceiling 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：41人が1台8人の車に乗る。必要な台数の最小は？ 自作導出：41÷8＝5余り1ですが、五台の定員は5×8＝40人までです。残る一人を乗せる六台目が必要なので、最小は6台です。六台なら48人分あり全員が乗れます。余りを捨てると一人が乗れず、七台や八台は足りますが最小ではありません。満杯の車の台数だけを問う場合と目的を区別します。 選択肢の個別検算： - a「7台」：7 ≠ 導出値 6。 - b「8台」：8 ≠ 導出値 6。 - c「6台」：6 ＝ 導出値 6。 - d「5台」：5 ≠ 導出値 6。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：最小容量の両側条件を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Five cars hold only 40 people. One extra person requires a sixth car, so round the needed number of cars up to 6. ### ma-0332 — ma-spacing-ends 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：直線状の道100 mに20 m間隔で木を植える。両端も植えると何本？ 自作導出：100÷20＝5で求まるのは、木と木の間の区間数です。両端にも植える位置は0、20、40、60、80、100 mの六か所なので、木は6本です。五区間を作るには最初の位置一つと各区間の終点五つが必要です。円形の道と違い、始点0 mと終点100 mは別の位置として数えます。 選択肢の個別検算： - a「5本」：5 ≠ 導出値 6。 - b「4本」：4 ≠ 導出値 6。 - c「7本」：7 ≠ 導出値 6。 - d「6本」：6 ＝ 導出値 6。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：全位置の列挙と開いた道の境界を示す。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 100/20 = 5 intervals but 6 endpoints: 0, 20, 40, 60, 80 and 100 m. ### ma-0333 — ma-circular-spacing 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：周囲120 mの円形の道に20 m間隔で木を植える。何本？ 自作導出：120÷20＝6で円周には六区間できます。位置を0、20、40、60、80、100 mと数えると六本で、次の120 mは最初の0 mへ戻った同じ木です。直線の両端のように一つ追加すると、始点を二回数えてしまいます。円周では各木に次の一区間が対応し、区間数と木の本数が一致します。 選択肢の個別検算： - a「6本」：6 ＝ 導出値 6。 - b「7本」：7 ≠ 導出値 6。 - c「5本」：5 ≠ 導出値 6。 - d「8本」：8 ≠ 導出値 6。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：閉路の同一点を列挙で確認。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：There are 120/20 = 6 intervals. On a closed circle, the end returns to the starting tree, so the number of trees equals the number of intervals: 6. ### ma-0335 — ma-concentration 旧revision 1 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：食塩5 gを水95 gに溶かした。質量百分率濃度は？ 自作導出：食塩水全体の質量は食塩5 gと水95 gを合わせた100 gです。質量百分率は食塩の質量を食塩水全体で割り、5/100×100＝5％です。水だけの95 gを分母にすると、食塩が溶液全体に占める割合ではなくなります。百分率へ直すための100倍も忘れず、質量の単位を両方でそろえます。 選択肢の個別検算： - a「95％」：95 ≠ 導出値 5。 - b「10％」：10 ≠ 導出値 5。 - c「5％」：5 ＝ 導出値 5。 - d「5/95％」：0.05263157894736842 ≠ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：溶液分母と百分率変換を明示。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The solution has total mass 5 + 95 = 100 g. The salt fraction is 5/100, so the mass percentage is 5%. The denominator is the whole solution, not only the water. ### ma-0336 — ma-average-speed 旧revision 2 / topic 論理・応用 / elementary, standard。 条件：同じ10 kmを往路時速10 km、復路時速20 kmで移動。全体の平均の速さ（総距離/総時間）は？ 自作導出：往路は10/10＝1時間、復路は10/20＝0.5時間です。総距離20 kmを総時間1.5時間で割るので、平均の速さは20/1.5＝40/3 km/hです。遅い往路で長く時間を使うため、二つの速さの単純平均15 km/hにはなりません。往復の変位は0ですが、ここで求めるのは総距離から出す速さです。 選択肢の個別検算： - a「15 km/h」：15は速さ二値の単純平均。 - b「30 km/h」：30は和で時間を無視。 - c「10 km/h」：10×1.5＝15で総距離20に足りない。 - d「40/3 km/h」：（40/3）×1.5＝20。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：区間時間による重みと変位との違いを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The outward trip takes 1 hour and the return takes 0.5 hours. Average speed is 20/1.5 = 40/3 km/h. Averaging the two speeds directly gives the wrong weighting. ### ma-0341 — ma-sequential-discounts 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：1000円の商品を20％引き後、さらに10％引き。最終価格は？ 自作導出：最初の20％引き後は1000×0.8＝800円です。次の10％は800円に対する80円なので、800−80＝720円となります。二回の値引き額は200＋80＝280円で、元の価格の28％です。20％と10％は基準の価格が違うため、そのまま足して30％引き700円とはできません。 選択肢の個別検算： - a「720円」：720 ＝ 導出値 720。 - b「700円」：700 ≠ 導出値 720。 - c「800円」：800 ≠ 導出値 720。 - d「900円」：900 ≠ 導出値 720。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：二回目の基準額と総割引率を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The first discount leaves 1000 × 0.8 = 800 yen. The second leaves 800 × 0.9 = 720 yen. The percentages apply to different bases. ### ma-0343 — ma-reverse-percentage 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：20％値上げ後の価格が1200円。元の価格は？ 自作導出：元の価格をx円とすると、20％値上げ後はx＋0.2x＝1.2xです。1.2x＝1200からx＝1200÷1.2＝1000円になります。戻して確認すると1000＋200＝1200円です。1200円の20％を引く960円では、元価格ではなく値上げ後の価格を基準にしてしまいます。 選択肢の個別検算： - a「1440円」：1440 ≠ 導出値 1000。 - b「1180円」：1180 ≠ 導出値 1000。 - c「1000円」：1000 ＝ 導出値 1000。 - d「960円」：960 ≠ 導出値 1000。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：元価格の未知量と逆百分率の基準を補足。 ### ma-0344 — ma-mixture 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：10％の食塩水100 gと20％の食塩水200 gを混ぜる。濃度は？ 自作導出：一つ目の食塩は100×0.10＝10 g、二つ目は200×0.20＝40 gです。混ぜた食塩50 gを全体300 gで割り、50/300×100＝50/3％です。濃度を単純に平均した15％では、100 gと200 gを同じ重みで扱ってしまいます。二倍の量がある20％側に重みが付き、平均は15％より高くなります。 選択肢の個別検算： - a「15％」：15％なら300g中塩45g≠50。 - b「30％」：30％なら塩90g。 - c「10％」：10％なら塩30g。 - d「50/3％」：（50/3）％なら塩50g。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：濃度の保存量と異なる質量の重みを補足。 ### ma-0345 — ma-work-together 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：Aは単独6時間、Bは単独3時間で同じ仕事を完了。一定の速度で同時に働くと？ 自作導出：仕事全体を1とすると、Aは一時間に1/6、Bは1/3を進めます。同時なら一時間に1/6＋1/3＝1/2進むので、全体の1を終える時間は1÷（1/2）＝2時間です。足すのは一時間あたりの仕事量で、完了時間6と3ではありません。それぞれの速さが一定で、同時に働けるという条件を使っています。 選択肢の個別検算： - a「2時間」：2 ＝ 導出値 2。 - b「4.5時間」：4.5 ≠ 導出値 2。 - c「9時間」：9 ≠ 導出値 2。 - d「1時間」：1 ≠ 導出値 2。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：時間と率の向き、最後の除算を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Their hourly job fractions add: 1/6 + 1/3 = 1/2. Completing one whole job therefore takes 1 ÷ (1/2) = 2 hours. ### ma-0348 — ma-budget-integer 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：予算1000円、固定送料200円、品物1個150円。最大何個買える？ 自作導出：送料を先に取ると、品物に使える予算は1000−200＝800円です。五個なら150×5＋200＝950円で収まり、六個なら1100円で予算を超えます。従って最大5個です。800÷150＝5と余り50からも分かりますが、小数の個数を買えないので、残りでさらに一個買えるかを確認します。 選択肢の個別検算： - a「6個」：6 ≠ 導出値 5。 - b「4個」：4 ≠ 導出値 5。 - c「7個」：7 ≠ 導出値 5。 - d「5個」：5 ＝ 導出値 5。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：最大整数の満たす/超える金額を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：After shipping, 800 yen remains. Five items cost 750 yen, but six cost 900 yen, so the maximum is 5. ### ma-0351 — ma-parity-invariant 旧revision 2 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：コイン5枚がすべて表。1回に異なる2枚を裏返す操作だけで、すべて裏にできる？ 自作導出：二枚を裏返すと、二枚とも表なら裏が2増え、二枚とも裏なら2減り、一枚ずつなら増減0です。どの操作でも裏の枚数の偶奇は変わりません。最初の0枚は偶数ですが、全部裏の5枚は奇数なので到達できません。試行回数を増やしても、保たれる偶奇の条件は変えられません。 選択肢の個別検算： - a「5回でできる」：5回でも偶奇が保たれ裏5へ不可。 - b「10回でできる」：10回でも同じ不変量。 - c「できない」：三変化0/±2で偶数のみ。 - d「3回でできる」：3回でも同じ不変量。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：不変量の三操作を全列挙。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：The number of tails changes by +2, −2 or 0 with each operation. Its parity stays even, starting from zero. Five tails is odd, so it cannot be reached. ### ma-0354 — ma-scale-factor-change 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：正方形の一辺を10％長くした。面積は何％増える？ 自作導出：一辺の倍率は1＋0.10＝1.1です。正方形では縦も横もこの倍率になるので、面積は1.1×1.1＝1.21倍です。新しい面積は元の121％で、増えた分は121−100＝21％です。二辺の10％を足すだけでは、増やした縦横が重なる部分の1％を落としてしまいます。 選択肢の個別検算： - a「1％」：1 ≠ 導出値 21。 - b「21％」：21 ＝ 導出値 21。 - c「10％」：10 ≠ 導出値 21。 - d「20％」：20 ≠ 導出値 21。 導出に照らす現行正答：b。改訂理由：増加率と最終倍率、交差部分を補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：Each dimension is multiplied by 1.1, so area is multiplied by 1.1² = 1.21. The increase is 0.21 of the original area, or 21%. ### ma-0357 — ma-two-set-count 旧revision 1 / topic 論理・応用 / middle, standard。 条件：30人中、Aを選ぶ18人、Bを選ぶ15人、両方7人。どちらも選ばない人数は？ 自作導出：AかBの少なくとも一方を選んだ人数は18＋15−7＝26人です。両方の7人は二回足しているので一回引きます。どちらも選ばないのは全30人から26人を引いて4人です。Aだけ11人、Bだけ8人、両方7人、どちらも4人に分けても合計30人となり、重なりと外側を区別できます。 選択肢の個別検算： - a「4人」：4 ＝ 導出値 4。 - b「3人」：3 ≠ 導出値 4。 - c「7人」：7 ≠ 導出値 4。 - d「11人」：11 ≠ 導出値 4。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：集合の重複と外側を四区画で確認。 ### ma-0361 — ma-implication-false 旧revision 1 / topic 論理・応用 / high, basic。 条件：命題P⇒Qが偽となるのは？ 自作導出：P⇒Qは、Pを満たすすべての場合にQも成り立つという条件です。Pが真なのにQが偽の一例があれば、この条件を破るので含意は偽です。Pが偽の場合は、その例が条件Pの対象外なので反例にはなりません。例えば「4の倍数なら偶数」を否定するには、4の倍数なのに奇数の数が必要です。 選択肢の個別検算： - a「Pが真、Qが偽」：条件P真でQ偽なら反例。 - b「Pが偽、Qが真」：P偽の対象外で反例でない。 - c「両方真」：条件も結論も満たす。 - d「両方偽」：P偽の対象外で反例でない。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：真理値規則を条件対象と反例で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：An implication fails exactly when its premise P is true but its conclusion Q is false. If the premise is false, it does not provide a counterexample to the implication. ### ma-0364 — ma-necessary-sufficient 旧revision 1 / topic 論理・応用 / high, standard。 条件：実数xについてx＝3はx²＝9の？ 自作導出：十分条件は、それを満たせば目的の条件も必ず満たす条件です。x＝3ならx²＝9なので、x＝3は十分です。必要条件は目的を満たすために欠かせない条件ですが、x＝−3でもx²＝9になるため、x＝3は必要ではありません。どちら向きの含意が成り立つかを別々に調べます。 選択肢の個別検算： - a「必要条件だが十分条件ではない」：必要方向はx−3で反例、十分方向成立。 - b「必要十分条件」：必要が偽なので両方でない。 - c「どちらでもない」：十分は成立する。 - d「十分条件だが必要条件ではない」：3⇒平方9、平方9⇏3。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：必要/十分を含意の両方向と反例で補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：When x = 3, its square is 9, so x = 3 is sufficient. But x = −3 also has square 9, so x = 3 is not necessary. ### ma-0365 — ma-negation-all 旧revision 1 / topic 論理・応用 / high, standard。 条件：「すべての整数nでP(n)」の否定は？ 自作導出：「すべての整数でP(n)」を否定するには、Pが成り立たない整数が少なくとも一つあれば十分です。従って否定は「ある整数nでP(n)が偽」となります。「すべての整数で偽」まで要求すると強すぎます。例えば「すべての整数は偶数」の否定には奇数1を示せばよく、偶数が一つもないと主張する必要はありません。 選択肢の個別検算： - a「P(n)が偽となる整数nが存在する」：少なくとも一反例という全称否定。 - b「すべての整数でP(n)が偽」：P偶数なら奇数で元命題偽だが全て偽でない。 - c「P(n)が真の整数が存在する」：P常に真なら存在真かつ元命題真。 - d「整数は存在しない」：整数0が存在するので違う。 導出に照らす現行正答：a。改訂理由：量化の否定を具体的反例で説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：To deny a universal statement, it is enough that at least one integer fails it. The negation is that there exists an integer n for which P(n) is false. ### ma-0367 — ma-demorgan 旧revision 2 / topic 論理・応用 / high, standard。 条件：「AかつB」の否定は？ 自作導出：AかつBが成立するには、両方が真である必要があります。その否定は「少なくとも一方が偽」、つまりAでない、またはBでないです。Aだけが偽でも「両方真」は崩れるので、両方とも偽とまで求めません。真偽を四通り並べると、AもBも真の場合以外の三通りが否定に当たります。 選択肢の個別検算： - a「AまたはB」：A,B共に真で右真だが否定偽。 - b「AかつB」：A,B共に真で否定と逆。 - c「Aでない、またはBでない」：TF/FT/FFの三場合で真。 - d「Aでない、かつBでない」：TFで否定真だが両方偽は偽。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：ド・モルガンの三真理値ケースを補足。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：For both A and B to fail to hold together, at least one must be false. De Morgan's law gives 'not A or not B.' ### ma-0383 — ma-tree-edges 旧revision 1 / topic 論理・応用 / university, standard。 条件：頂点数nの有限な木の辺数は？ 自作導出：一頂点だけの木は辺が0本で、n−1と一致します。二頂点以上の有限な木では、端の葉を一つ除くと頂点も辺も一つずつ減り、残りも木になります。残りがn−1頂点で辺n−2本なら、葉を戻して辺はn−1本です。連結かつ閉路がないことが、この減らし方を支えています。 選択肢の個別検算： - a「n＋1」：n1で0≠2。 - b「2n」：n1で0≠2。 - c「n−1」：葉帰納法でn−1。 - d「n」：n1で0≠1。 導出に照らす現行正答：c。改訂理由：葉を除く帰納法を基底と復元まで説明。 EN判断：本文を実読し、既に定義または数値途中式と求める答えのつながりが説明されているため維持。現行EN：A one-vertex tree has zero edges. Removing a leaf from a larger tree removes one vertex and one edge while leaving a tree. Induction gives n − 1 edges. ### ma-0400 — ma-cantor-diagonal 旧revision 1 / topic 論理・応用 / university, advanced。 条件：ある集合Sとその冪集合P(S)についてカントールの定理は？ 自作導出：全射f：S→P(S)があると仮定し、D＝{s∈S：s∉f(s)}を作ります。全射ならf(d)＝Dとなるd∈Sがあるはずです。するとd∈Dは定義によりd∉f(d)＝Dと同値になり、矛盾します。従って全射はありません。Dの要素を一つずつ探すのでなく、自分の像への所属を反転させる定義が証明の中心です。 選択肢の個別検算： - a「必ず全単射がある」：全単射は全射も含むので不可能。 - b「P(S)は常に有限」：S自然数ならP(S)も有限でない。 - c「Sが無限なら要素数が等しい」：同じ要素数なら全単射、全射の矛盾。 - d「SからP(S)への全射は存在しない」：D原像dからd∈D⇔d∉D。 導出に照らす現行正答：d。改訂理由：対角集合の原像を明示して矛盾を完成。 ## 日英22既存記事の追加原稿と支援範囲 節の順序・タイトル・旧段落は保持し、末尾へ考え方を追加する。例題ID、settings、メタデータを変更しない。文章は問題解説の貼り直しではなく、条件の比較や逆操作を記事の流れに合わせて提示する。 ### en:math-everyday 節1「Give every number a job」追加： You can check the roles of the numbers by reversing the grouping. The total is 24 items, and dividing those items equally among four bags gives 24/4 = 6 items per bag. The units make the roles visible: items per bag multiplied by bags gives items. The expression 6 + 4 adds a group size to a group count, so it cannot reconstruct the actual contents. 節2「Compare places, then interpret the remainder」追加： Another way to align the decimals is to count thousandths: the values are 700, 650, 90 and 705 thousandths. Appending zeros changes the written subdivision, not the amount. Compare the 700 and 705 that remain after checking their larger places. A rule based only on the number of written decimal digits would incorrectly put 0.09 above 0.7. Now change only the packing goal. Four boxes hold 24 items and leave five loose. If every item must be inside a box, a fifth, partly filled box is needed. If the question asks how many boxes are full, the answer remains four. The division has not changed; the quantity requested has. State which goal you are checking before rounding a quotient upward. ### en:math-geometry 節1「Use a name as a set of conditions」追加： A useful comparison is a square and a rectangle. A square satisfies the rectangle condition of four right angles and also has four equal side lengths. This is inclusion of conditions, not a claim that every rectangle has equal sides. Likewise, a diameter must satisfy both circumference endpoints and passage through the centre. A radius misses the first condition because one endpoint is the centre, even when the segment lies on the same straight line as a diameter. 節2「Match the calculation to the measurement」追加： To account for the triangle angle total, draw a line through one vertex parallel to the opposite side. Alternate interior angles bring the other two angles beside the angle at that vertex, filling a straight angle. Thus 50° + 60° + 70° = 180°. This check uses the supplied relationships rather than the apparent sizes in the sketch. Compare area formulas by constructing the shapes. Cutting and translating the parallelogram preserves its covered area and produces a 6 cm by 4 cm rectangle. Its 5 cm sloping side does not become the rectangle height. Two identical triangles with the same base and height form a parallelogram, so a triangle uses half that area. The factor of one half belongs to the construction, not to whether a drawing looks small. ### en:math-fractions-ratios 節1「Count selected pieces and all equal pieces」追加： Subdivision gives a picture of equivalent fractions. Split each of the original three pieces into four equal pieces: the whole now has twelve pieces, and the original two selected pieces contain eight. That is why 2/3 and 8/12 describe the same amount. Addition instead needs a common piece size before counting. Rewrite 1/4 as 3/12 and 1/6 as 2/12; five twelfths result. Adding the denominators would invent another piece size. Division can also use a common unit. Three quarters of a litre is six eighths. If each cup holds one eighth of a litre, six such cupfuls fit. The quotient counts cups because the total and each portion have first been expressed using the same unit. 節2「Turn a ratio into total equal shares」追加： Place the 12-item and 18-item shares in separate boxes. The comparison between boxes is 12:18 = 2:3. Combining the boxes gives a 30-item whole, relative to which the smaller share is 12/30 = 2/5. The same numerator does not keep the same denominator when the reference changes. The amount also depends on the whole itself: half of a 20 cm tape is 10 cm, whereas half of a 10 cm tape is 5 cm. For a fraction of another fraction, follow the nesting: three fifths of two thirds means dividing two thirds into five equal amounts and taking three, giving (2/3)/5 × 3 = 2/5 of the original whole. ### ja:math-fractions-ratios 節1「選んだ部分と、すべての部分を区別する」追加： 一切れの大きさを変えても、取った量を保つことができます。三等分したうち二つを、それぞれさらに四等分すると、全体は十二切れ、選んだ部分は八切れです。これが2/3＝8/12の図の読み方です。足し算では初めから大きさの違う切れをそろえます。1/4を3/12、1/6を2/12へ直せば、1/12が五つで5/12となり、分母同士を足す理由はありません。 一杯1/8 Lで3/4 Lを分ける例なら、全体を6/8 Lと書き直せます。1/8 Lという同じ一杯分が六つ入るので六杯です。分数で割る計算も、共通の小さな単位を何個ずつにまとめるかと考えると、商が杯数になる理由をたどれます。 節2「比の単位を足して全体をつくる」追加： 比の前の2だけを見て全体の2/3と読むと、後ろの3を全体と取り違えます。小さい側十二個と大きい側十八個を別々の箱へ置けば、部分どうしは12：18＝2：3、合わせた箱全体に対する小さい側は12/30＝2/5です。比較する相手を変えると分母も変わります。 割合が同じでも、もとの全体が同じとは限りません。20 cmのテープの半分は10 cm、10 cmの半分は5 cmです。また「2/3の量の3/5」は2/3を五等分して三つ取るので、（2/3）÷5×3＝2/5となります。全体を指定した後、どの段階の量をさらに分けているか順に追います。 ### en:math-data 節1「Use a total for the arithmetic mean」追加： When combining group means, recover each group total first. Three people averaging ten points contribute thirty points, and two averaging twenty contribute forty. Seventy points among five people gives fourteen. Averaging the two means directly gives fifteen, but treats groups of different sizes as equal units. This calculation determines the combined mean from the supplied totals; it does not recover each person’s individual score. 節2「Use position for the median and endpoints for the range」追加： Compare an even list: 2, 4, 6, 12 has two central values, 4 and 6, so its median is 5. Its arithmetic mean is 24/4 = 6 instead. Before calculating a median, check whether there is one central position or two. Add ten to every entry of 4, 7, 9, 15, producing 14, 17, 19, 25. The mean and median rise by ten, but the range stays 25 − 14 = 11. Range retains the separation of the endpoints rather than their overall position. Changing every entry by the same amount is different from appending one extreme observation. ### ja:math-data 節1「平均は合計と項目数から求める」追加： 平均を足し合わせるときも、一度合計へ戻すと人数を保てます。三人平均十点と二人平均二十点なら、合計は三十点と四十点、全五人で七十点なので平均十四点です。平均二つを足して二で割る十五点では、人数の違う群へ同じ重みを与えています。これは個人の点数を新たに推測する計算ではなく、与えられた群の合計から全体の平均を求める計算です。 節2「中央値は位置、範囲は両端を見る」追加： データが偶数個の2、4、6、12なら、中央には四と六の二値があるので、中央値はその平均五です。全四値の平均は二十四を四で割った六で、別の量になります。奇数個の例と並べて、中央の位置が一か二かを先に確かめてください。 範囲十一の並び4、7、9、15へ全て十を足すと14、17、19、25です。平均と中央値は十増えますが、範囲は25−14＝11で変わりません。範囲は位置の高低を残さず、両端の隔たりを残す量です。一つの大きな値だけを足す場合とは区別して、何が同じなのかを確認します。 ### en:math-probability 節1「Keep the outcome units consistent」追加： Put the two coin results in a two-by-two grid: the first coin chooses a row and the second chooses a column. Each cell has probability (1/2)(1/2) = 1/4. Grouping by the number of heads creates categories with zero, one or two heads, but the middle category contains two cells. Their probabilities are 1/4, 1/2 and 1/4. Three category names do not imply three equal probabilities. 節2「Translate at least one into a precise event」追加： The complement calculation removes one unsuitable cell from all four. For at least one head, remove TT only; for exactly one head, remove HH as well. Marking both events on the same grid makes their difference visible before calculating 3/4 and 1/2. Independence also distinguishes a whole sequence from a future toss after known history. Predicting two heads before either toss gives 1/4. After the first head is known, the next head still has probability 1/2. Say which outcomes remain uncertain before choosing the probability space. ### ja:math-probability 節1「何を一つの結果として数えるか決める」追加： 二コインの四結果は、第一の表か裏を決めてから第二の表か裏を決める2×2の表にもできます。各升目の確率は1/2×1/2＝1/4です。「表が零枚、一枚、二枚」という三分類へまとめると、一枚の分類には表裏と裏表の二升が入るので、分類の確率は1/4、1/2、1/4です。分類の名前が三つだから三分の一ずつとはしません。 節2「少なくとも一回を結果の一覧に戻す」追加： 二回とも裏を除く方法は、全体の四升から条件に合わない一升だけを取る操作です。少なくとも一回表の3/4に対し、ちょうど一回表なら表表も除き2/4＝1/2となります。計算の前に、同じ表へ二つの条件の印を付けて比べると、違いが分数を計算する前に見えます。 独立は、次の試行の確率が前の結果で変わらないという条件です。二回とも表の確率は一回の1/2を二回掛けた1/4ですが、一回目の表を既に知っているなら、次の表は1/2です。「これから二回を予測する」と「一回分を知った後に予測する」の全体を区別します。 ### en:math-units 節1「Choose the direction of the conversion」追加： Check a conversion by reversing it: 250 cm divided by 100 gives 2.5 m, while 0.75 L multiplied by 1000 gives 750 mL. An estimate provides another check. Since 750 mL is less than 1 L, candidate results such as 7.5 L or 75 L cannot describe the same volume. Keep the quantity fixed while deciding how many destination units count it. 節2「An area conversion has two length factors」追加： Reverse the area conversion with a smaller square. A square of side 10 cm, or 0.1 m, has area 100 cm² or 0.01 m². Thus 100 cm² divided by 10000 is 0.01 m². Dividing only by 100 would incorrectly give 1 m². For rectangles as well as squares, check that both length factors have changed units. ### ja:math-units 節1「小さい単位へ移すか、大きい単位へ移すか」追加： 換算後の数値は、逆向きへ戻すと同じ量になるか確認できます。250 cmなら100で割って2.5 m、0.75 Lなら1000を掛けて750 mLです。750 mLは1 L未満という見積もりもできるため、7.5 Lや75 Lでは桁を戻す前に不自然さに気付けます。掛けるか割るかを暗記するより、元の量一つ分を何個で数えるかを確かめます。 節2「面積では二つの方向を換算する」追加： 100 cm²を10000で割ると0.01 m²です。これは一辺10 cm、つまり0.1 mの正方形で、0.1×0.1＝0.01 m²にもなります。百で割って1 m²とすると、一方向しか換算していません。同じ換算を長方形へ使うときも、面積を作る二つの長さがそれぞれ換算済みかを確認できます。 ### en:math-expressions 節1「An equality can be checked in both directions」追加： The equals sign states that both sides have the same value. Subtracting eighteen from both sides of the box equation preserves this relation while isolating the unknown. The price expression instead describes several possible purchases: two pencils give 80 × 2 + 100 = 260 yen, and three give 340 yen. An additional pencil adds eighty yen while the one eraser’s hundred yen stays fixed. Naming the terms explains what changes with the input. 節2「Find the multiplier from corresponding pairs」追加： Direct proportion keeps y/x constant, so doubling or tripling x has the same effect on y. Contrast an inverse table with x = 1, 2, 4 and y = 12, 6, 3: it keeps xy = 12 constant instead. A table with x = 1, 2, 3 and y = 3, 5, 7 has constant increases but ratios 3, 2.5 and 7/3. Corresponding rows still matter, but constant increases alone do not establish direct proportion. ### ja:math-expressions 節1「等式を元の向きでも確認する」追加： 等号は左右が同じ値であることを表します。空欄の例で両辺から十八を引くと、左は空欄だけ、右は二十七になり、関係を保って未知の数を取り出せます。代金の式は未知数を解く問題とは別で、x＝二本なら80×2＋100＝260円、三本なら340円です。鉛筆を一本増やすと八十円増え、消しゴム一個分の百円は変わらないことを式から読めます。 節2「対応する値を組にして倍率を調べる」追加： 比例では、xが二倍、三倍ならyも同じ倍率になり、y/x＝kが一定です。反比例の表x＝1、2、4、y＝12、6、3では、比ではなく積xy＝12が一定になります。対応する行をそろえる作業は同じでも、保つ量が違います。増え方が一定の表x＝1、2、3、y＝3、5、7は、y/xが3、2.5、7/3なので比例ではありません。 ### en:math-graphs 節1「Read the value at the specified starting time」追加： At times 0, 1 and 2 the water values are 20, 25 and 30 L. Twenty is the starting amount; five appears as the change in each one-minute interval. A point’s height and the rate of increase are different readings. For a straight line through (1, 3) and (3, 7), the horizontal change is 2 and the vertical change is 4, so the slope is 4/2 = 2. Divide by horizontal change to express the vertical change per input unit. 節2「Follow an axis before naming the motion」追加： Trace (3, −2) in two moves: three units right from the origin, then two down. A negative vertical coordinate is below zero; it does not exchange horizontal and vertical roles. For a distance-time graph, equal recorded distances at two times within a horizontal segment give zero distance increase in that interval. A spatial coordinate and a time-dependent rate use axes differently, so name the quantities before interpreting the lines. ### ja:math-graphs 節1「始まりとして指定された時刻を式へ入れる」追加： 水の量をt＝0、1、2で並べると20、25、30 Lです。二十は各時点で残る初期量、五は一分あたりの差に現れる増加率です。点の高さと増加率は違います。一般の直線でも、二点（1、3）、（3、7）なら横の差2に対し縦の差4なので、傾きは4/2＝2です。縦の差四だけでなく、一単位の横変化あたりへ直して読みます。 節2「軸をたどってから、運動や位置を言う」追加： 座標（3、−2）の横成分3を先に読み、原点から右へ三つ、そこから下へ二つ進むと点に届きます。下から上へ向かう軸でも、負の値は零の下側にあります。道のりの横線については、例えば二分後と三分後の記録が同じ値なら、その間の道のり差は零です。位置の座標と時間による変化は、どの軸のどんな量を読むかを先に決めて使い分けます。 ### en:math-counting 節1「Enough groups can require a partial final group」追加： A remainder has consequences determined by the goal. The forty-first passenger needs a sixth car, because everyone must fit. In a budget example, after 200 yen shipping an 800 yen budget remains. Items costing 150 yen allow five purchases for 750 yen; the remaining 50 yen cannot buy a sixth. Attach the quotient and remainder to either enough capacity or staying within a budget before choosing an integer answer. 節2「Count positions after counting gaps」追加： Five gaps on a straight path leave the first position plus five endpoints. On a circle, the last endpoint returns to the initial position, so six gaps give six positions. Sketch a line and a closed loop and mark each distinct location once. Adding one to the gap count is a consequence of two distinct ends; it is not a formula independent of the arrangement. ### ja:math-counting 節1「全員が入れる組は、最後が満杯でなくても必要」追加： 割り算で余りが出ても、何を最大・最小にするかで最後の判断が変わります。全員を運ぶ車なら四十一人目のために六台目が必要です。買い物で送料二百円を除いた予算八百円から一個百五十円の品を買うなら、五個で七百五十円、余り五十円では六個目を買えません。割り算の商と余りへ、容量を満たす条件か、予算を超えない条件かを結び付けます。 節2「間隔を数えた後で、位置を数える」追加： 直線では、五区間を並べると最初の位置と五つの終点が残ります。円では最後の終点が最初の位置に重なり、六区間に六位置です。紙に一本の線と輪を描き、同じ印をもう一度数えていないかを確認してください。「間隔の数に一を足す」は直線の両端が別にあるという条件から来る規則で、並び方が変わっても使える式ではありません。 ### en:math-chance-models 節1「Without replacement, track the remaining collection」追加： The colour branches give a second calculation without replacement. Red then blue has probability (2/3)(1/2), while blue then red has probability (1/3)(1), summing to 2/3. Removing a red leaves one red and one blue; removing the blue leaves two reds. With replacement the next collection is restored, and two reds instead have probability (2/3)² = 4/9. Read the remaining contents before multiplying a second probability. 節2「Ordered dice results and independent future tosses」追加： Build the six sum-seven pairs by choosing the first result from 1 to 6 and setting the second to seven minus that result. Compare sum two, which has only (1, 1). One name for each sum conceals different numbers of equally likely pairs. After five heads are known, only the sixth toss remains uncertain, giving probabilities 1/2 for each side. Before any toss, predicting the particular six-toss sequence of five heads then tails has probability 1/64. Those probabilities answer different questions about known and unknown outcomes while keeping the same independence assumption. ### ja:math-chance-models 節1「戻さない抽出では、物の区別を残す」追加： 逐次に色で計算しても、色違いは「赤の後に青」か「青の後に赤」です。戻さないなら（2/3）×（1/2）＋（1/3）×1＝2/3です。最初に赤を除くと残る二個のうち青は一個、最初に青を除くと残る二個は両方赤になります。戻す場合の両方赤は（2/3）²＝4/9なので、二回目の分母と残りの内訳を読む作業が先に必要です。 節2「二つの目の組と、独立した次の試行」追加： 和七の六組は、一個目の目1から6それぞれへ、二個目の7−目を対応させて作れます。これに対し和二は（1、1）の一組しかありません。二つの和の名前を一つずつ数えても、含まれる組の数は同じになりません。 五回表を先に知っている条件の後では、未知なのは六回目だけで、表・裏の確率は各1/2です。最初から「五回表の後に裏」という六回の特定列を当てる確率1/64と比べると、何を既に知ったかで分母の対象が変わることを確認できます。過去が次へ影響しないという独立条件は保持しています。 ### ja:math-common-factors 節1「掛けた値と、分け終えたことの両方を確かめる」追加： 素数ごとの個数の表では、因数がない欄も零個としてそろえます。例えば十八には五が零個、三十には五が一個あります。零個を落とさずに比べれば、五を公約数へ入れられない理由を表の中で確かめられます。指数はその素数を何回掛けるかなので、2²×3×7を2×2×3×7へ戻してから積八十四を確認できます。 節3「公倍数は、両方の数を含められる」追加： 同じ二数十二と十八を公約数側でも調べると、共通の少ない個数から最大公約数は2×3＝6です。公倍数側の三十六と掛けると6×36＝216＝12×18になります。同じ素数ごとに少ない個数と多い個数を合わせると、元の二数の個数の合計になるためです。この確認でも、約数と倍数を逆方向にしていないかを見直せます。 ### en:math-common-factors 節1「Check both the product and completion」追加： Keep a zero count when a prime is absent. Eighteen contains zero copies of 5 and thirty contains one. Writing both counts explains within the table why a common divisor cannot include 5. An exponent counts copies to multiply, so expand 2² × 3 × 7 into 2 × 2 × 3 × 7 before checking that the product is 84. 節3「A common multiple must contain enough for both」追加： For the same pair twelve and eighteen, the smaller shared prime counts give greatest common divisor 2 × 3 = 6. Its product with the least common multiple is 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Prime by prime, the smaller and larger counts add to the total counts in the original pair. This gives another check while retaining which number divides and which is divisible. ### ja:math-everyday 節1「数にことばを添えて式を作る」追加： 六個入りの袋を四袋並べ、一袋ずつ中身を取り出すと6＋6＋6＋6＝24個です。この繰り返しを6×4と書きます。一方、6＋4では「一袋に入る個数」と「袋の数」を混ぜており、実際の中身を一つずつ数えた合計に戻れません。式が表す量を確認したいときは、24個を四袋へ同じ数ずつ戻して24÷4＝6個と確かめられます。 節2「余りや小数も、場面に戻す」追加： 0.7、0.65、0.09、0.705を千分の一ずつの量で数えると、700、650、90、705になります。0.7に零を補うのは量を増やす操作ではなく、同じ目盛りへ書き直す操作です。小数第一位が同じ7の二つは、次の位へ進んで700と705を比べます。小数点以下の文字数だけを比べると、0.09を0.7より大きいと誤って読んでしまいます。 箱詰めは「何を数える答えか」でも変わります。29個のうち四つの箱に24個を入れると、五個が外に残ります。満杯の箱は四箱ですが、全部を箱に収めるなら満杯でない五箱目が必要です。同じ割り算から二つの問いへ答えられるので、余り五個を見て機械的に切り上げる前に、求める箱の意味へ戻ります。 ### ja:math-geometry 節1「図形の名前を性質に戻す」追加： 直径には「両端が円周上」と「中心を通る」という二条件があります。中心Oから円周へ向かうOAだけでは、一方の端が中心なので半径です。円周上のAからBへ引いた線分がOも通るならABが直径になります。図を回しても端点と中心の関係は変わりません。四角形でも同じ読み方で、正方形は四角が直角なので長方形の条件を満たし、さらに四辺の長さが等しい条件も持ちます。 節2「底辺に対応する高さを探す」追加： 角度の例では、三角形の内角を合わせた180°から50°と60°を取り、残りは70°です。ある頂点を通って反対の辺に平行な線を引くと、他の二角をその頂点へ移して一直線に並べられるため、和が180°になります。角が見た目で大きそうかどうかではなく、三つを足して180°へ戻ることを確認します。 平行四辺形の端の三角形を切り、反対側へ平行に移すと、横6 cm、縦4 cmの長方形になります。切る前後で覆う面積は同じなので6×4＝24 cm²です。斜辺5 cmを高さとして6×5にすると、この長方形の縦幅を表せません。同じ底辺と高さの三角形なら面積は半分になることも、二枚の三角形を合わせる構成から比べられます。 ## 境界 問題前のUIへ答えを追加しない。原稿のみで本番採用・reviewed・revision更新は行わない。微積分・行列・大学統計・論理の改訂問題を初等記事へ無理に結び付けない。manual-guidesには実際の段落が支援するIDのみを列挙する。既存プリセットとの分類差は別一覧へ残す。体感難度・実機・本番表示・保存の試験は作者作業範囲外。 ## v3修復判断と数学的確認 8指摘をすべて採用。公開問題の正答・題文・選択肢・図・分類・改訂番号は保持し、四つのJA説明、二つの選択肢反証、二つのJA記事段落を修復した。EN本文4改訂案と104維持判断は変更しない。 - ma-0026：負×正は負なので（−2/5）（2/5）＝−4/25。選択肢dは負×負で＋4/25。どちらも逆数条件の1ではなく、正答bの積1は保持。 - ma-0109：x＝1ではaは4、bは10、cは−8、dは7。cの旧−24は誤代入値であり、−8へ修復。正答aは保持。 - ma-0042：16の四乗根2を三乗して8。分母4は根の次数、分子3は三乗の指数であり、三倍の乗数ではない。 - ma-0043：始点1へ2を五回掛けると2⁵＝32。始点2から32へ移る追加の掛け算は四回という区別を明示。 - ma-0145：差商の極限は一点aの値f′(a)、日本語では微分係数。各点の値をxの関数とした導関数と区別。題文の既存語は変えず説明で明示。 - ma-0183：交差しない通常の六角形の三角形分割は四個。凸六角形なら一頂点から扇形に分割できるが、凹の場合に任意頂点の扇形分割を保証しない。一般の単純多角形で対角線により一個の三角形を切り出し、残りへ繰り返すとn−2個になるので内角和（n−2）180°。既存題文を自己交差図形へ拡張しない。 - ja:math-counting：41＝8×5＋1、800＝150×5＋50。両者に余りがあることだけが共通で、余りの値が同じとは述べない。容量と予算で切上げ/切捨てを使い分ける説明は保持。 - ja:math-graphs：旧第一段落の「tを経過した分数とし」を「tを経過時間（分）とし」へ明確化。水量（5t＋20）L、t＝0、1、2で20、25、30Lは不変。道のりグラフでは時間が横、移動した道のりが縦で、水平区間の累積道のり差0が停止を表す。速度グラフへ同じ結論を移さない既存注意を保持。 旧v2 SHA：c6e1ef9592a6e9acd3aa77e0628cb7c4d9dddd2f2ded7cac8c04387cfdc94b4a。修復元の指摘原本：output/explanations87/independent-language-math/MATH-SIGHTED-INITIAL.json SHA 0913581c3c62219305c28d1e10dd763992d96efe2026fb7ec0ac0c1102de738e。