数学 · 極限と連続
編集：ひと息遊戯・ひと息学び 運営 · 公開日： · 編集方針
分数にx＝1を入れると0/0になってしまう。それでも「xを1へ近づけたときの極限は2」と言える場合があります。「その点で値があるか」と「周囲の値がどこへ近づくか」は、別の質問だからです。
紙に「点の値・左からの極限・右からの極限」という3つの欄を作りましょう。ここでは実数の関数について、左右どちらにも入力がある点の近くを考えます。文字式への代入と因数分解を使い、高校段階の3例題をこの3欄で読み解きます。
最初の例題は、xを1へ近づけるときの（x²−1）/（x−1）の極限です。元の式はx＝1では定義されません。一方、x²−1＝（x−1）（x＋1）なので、x≠1なら分母と同じ因数を約分してx＋1になります。「x≠1」という条件は、約分したあとも残します。
x＝0.9、0.99なら値は1.9、1.99。x＝1.1、1.01なら2.1、2.01です。左右から2へ近づく様子が見えます。ただし、いくつかの数値を試しただけで結論にせず、次の式で近づき方を確かめましょう。
x≠1では、式の値と2との差は（x＋1）−2＝x−1です。差の大きさも同じなので、xと1の距離を0.01未満にすれば、式の値と2の距離も0.01未満になります。もっと小さな正の幅を指定されても、入力を同じ幅の内側へ近づければ応えられます。これが、この例で極限を2と判断できる理由です。
極限は、目標の入力そのものを除いた周囲の値を調べます。したがって、元の式のx＝1での値がなくても、極限2は存在します。0/0は定義されない式であり、0という答えでも、「極限が存在しない」という結論でもありません。
2つ目の例題では、f(x)＝1（x＜0）、f(x)＝2（x≧0）です。負の側から0へ近づけると、値はずっと1。正の側からなら、ずっと2です。左極限は1、右極限は2で一致しないため、両側極限は存在しません。f(0)＝2という点の値だけでは、左側の食い違いはなくなりません。
平均の3/2にすることもできません。どちら側の値も3/2から0.5離れたままなので、例えば距離を0.1未満にはできないからです。紙に描くなら、左側の高さ1は（0,1）を白丸に、右側の高さ2は（0,2）を黒丸にします。黒丸は実際の点の値を示し、それだけで両側極限を決める印ではありません。
3つ目の例題はx＝aでの連続性の条件です。ここではaの左右で関数を考えられるものとします。f(a)が定義され、xをaへ近づけた極限が存在し、その極限がf(a)に等しいとき、aで連続です。「点の値があるだけ」でも「左右極限が等しいだけ」でも足りません。
例えば、x≠aでは0、x＝aのときだけ1と決めると、左右極限はともに0なのに点の値は1。連続ではありません。最初の分数も、x≠1での値をそのままにしてx＝1の値を新たに2と定めれば連続になりますが、0と定めれば極限2と食い違います。周囲の行き先を変えずに点の値だけを変えられることが、2つの質問を分ける手がかりです。
練習として（x²−4）/（x−2）を考えます。元の式でx＝2は使えません。x≠2で因数分解・約分し、xを2へ近づけた極限を求めてから、x＝2の値を何にすれば連続になるかを書いてください。x≠2ではx＋2なので極限は4、点の値も4と定めれば連続です。もし点の値を0と定めたら、3欄は「0・4・4」となり連続ではありません。
続いて下の3例題を順に解き、答えを見る前に3欄メモへ根拠を書きましょう。代入や等式の意味が曖昧なら前提記事「文字式も怖くない！xや等式の意味がスッキリわかるコツ」へ。位置と値の読み分けは関連記事「線の形だけで判断しない！グラフと座標をスッキリ読むコツ」で復習できます。練習へ進むと「式・関数」の高校・標準問題が選ばれ、この3問以外の同条件の問題も含まれます。
TRY & READ
選択肢を比べてから「答えと解説を読む」を開いてください。ここで読んだ例題は、テストの解答や成績として保存されません。
例題 1 · 式・関数
正解：2
x≠1では（x²−1）/（x−1）＝x＋1です。xを1へ近づけると、周囲の値x＋1は2へ近づくので極限は2です。元の分数へ1を直接入れると0/0で定義されませんが、極限はその点そのものの値ではなく周囲の近づき方を見ます。
x＝0.9なら1.9、1.1なら2.1となり、左右から同じ2へ近づきます。
例題 2 · 式・関数
正解：存在しない
左極限1と右極限2が異なり、一つの値へ近づかない。
例題 3 · 式・関数
正解：極限が存在しf(a)に等しい
点の値と周囲の極限の一致が必要。微分可能性までは要求しない。 左右の極限が同じでも、点の値がそれと違えば連続ではありません。
例えばx≠aで0、x＝aだけ1とする関数がその例です。
出典確認日：2026-10-20
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