English

Explanations for checking this guide

Limits and continuity: separate the point from its surroundings

This companion brings together explanations included in the guide.

Substituting x = 1 into a fraction can produce 0/0, yet the fraction can have a limit of 2 as x approaches 1. Whether a value exists at the point and where nearby values approach are different questions.

Make three columns on paper: point value, left-hand limit and right-hand limit. We consider real functions near points with available inputs on both sides. Use substitution and factorization to work through three high-school-level examples with this three-column note.

After 0/0, investigate the inputs away from the point

The first exercise asks for the limit of (x² − 1)/(x − 1) as x approaches 1. The original expression is undefined at x = 1. But x² − 1 = (x − 1)(x + 1), so for x ≠ 1 the common nonzero factor cancels and the fraction equals x + 1. Retain the restriction x ≠ 1 after cancellation.

Inputs 0.9 and 0.99 give outputs 1.9 and 1.99. Inputs 1.1 and 1.01 give 2.1 and 2.01. These suggest an approach to 2 from both sides. A few sample values do not establish the conclusion, so check the distance using the expression itself.

Check how close by comparing differences

For x ≠ 1, the difference between the output and 2 is (x + 1) − 2 = x − 1. The distances are equal: keeping x within 0.01 of 1 keeps the output within 0.01 of 2. Whatever smaller positive tolerance is specified, keeping the input within that same tolerance meets it. This establishes the limit of 2 in this example.

A limit examines nearby inputs excluding the target input itself. The original fraction therefore has limit 2 even though it has no value at x = 1. The expression 0/0 is undefined; it is neither an answer of zero nor a conclusion that the limit does not exist.

If the left gives 1 and the right gives 2, can we average them?

The second exercise defines f(x) = 1 for x < 0 and f(x) = 2 for x ≥ 0. Approaching zero through negative inputs always gives 1. Through positive inputs it always gives 2. The left-hand limit is 1 and the right-hand limit is 2. Since they disagree, the two-sided limit does not exist. The point value f(0) = 2 does not remove the disagreement on the left.

The average 3/2 is not a limit either. Outputs on both sides stay 0.5 away from it, so they cannot come within a tolerance such as 0.1. To sketch the function, draw height 1 on the left with an open circle at (0, 1), and height 2 on the right with a filled circle at (0, 2). The filled circle marks the actual point value; it does not determine a two-sided limit on its own.

Continuity matches the nearby destination to the point value

The third exercise asks when f is continuous at x = a. Here the function can be considered on both sides of a. The value f(a) must be defined, the limit as x approaches a must exist, and that limit must equal f(a). Having a point value alone is insufficient. Having equal one-sided limits alone is also insufficient.

For example, define a function to be 0 whenever x ≠ a, but 1 at x = a. Both one-sided limits are 0, while the point value is 1, so it is not continuous at a. Similarly, keep the first fraction unchanged for x ≠ 1 and assign a new value of 2 at x = 1: this extension is continuous there. Assigning 0 instead disagrees with the limit 2. Changing only the point value while keeping the nearby destination explains why these are separate questions.

Fill a hole using the three-column note

For practice, consider (x² − 4)/(x − 2). The original expression excludes x = 2. Factor and cancel for x ≠ 2, find the limit as x approaches 2, then decide which value at x = 2 would make an extension continuous. Away from 2 the expression is x + 2, so the limit is 4 and assigning the point value 4 makes it continuous. Assigning the point value 0 produces the three columns 0, 4, 4, which do not give continuity.

Now work through the three exercises below in order, writing reasons in your columns before opening the answers. If substitution or equality is unclear, revisit the prerequisite “Expressions: give the unknown a role.” The related “Graphs and coordinates: read what each axis means” helps separate position from value. The practice preset selects standard, high-school-level questions on expressions and functions, including other matching questions beyond these three.

How to practise

Check whether the original expression defines the point value, and retain the nonzero-denominator condition when cancelling.

Exclude the target input itself and examine the left and right approaches separately.

If a two-sided limit exists, compare it with the point value; equality gives continuity at that point.

Cancelling does not automatically fill the original hole

The equality (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 holds for x ≠ 1. A nearby limit of 2 does not give the original expression a value at x = 1.

Example 1

What is the limit of (x² − 1)/(x − 1) as x approaches 1?

Choices

Does not exist

2

0

1

Answer: 2

For x ≠ 1, the expression simplifies to x + 1. Its nearby values approach 2. The expression need not be defined at the point for the limit to exist.

Example 2

Let f(x) = 1 for x < 0 and f(x) = 2 for x ≥ 0. What is its two-sided limit as x approaches 0?

Choices

2

3/2

Does not exist

1

Answer: Does not exist

The left-hand limit is 1 and the right-hand limit is 2. Since they differ, no two-sided limit exists.

Example 3

Which condition means that f is continuous at x = a?

Choices

Only that f(a) exists

Only that the left and right limits agree

The limit equals f(a) + 1

The limit exists and equals f(a)

Answer: The limit exists and equals f(a)

Continuity requires f(a) to be defined, the limit as x approaches a to exist, and that limit to equal f(a). Differentiability is a stronger condition and is not required. Equal one-sided limits alone are insufficient. If f(x) = 0 away from a but f(a) = 1, the limit exists and equals 0 while the function is not continuous at a.

日本語

本文と例題の確認用説明

代入できないのに答えは2？「点の値」と「極限」を分けて考えよう

この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。

分数にx＝1を入れると0/0になってしまう。それでも「xを1へ近づけたときの極限は2」と言える場合があります。「その点で値があるか」と「周囲の値がどこへ近づくか」は、別の質問だからです。

紙に「点の値・左からの極限・右からの極限」という3つの欄を作りましょう。ここでは実数の関数について、左右どちらにも入力がある点の近くを考えます。文字式への代入と因数分解を使い、高校段階の3例題をこの3欄で読み解きます。

0/0で止めずに、まず「その点以外」を調べる

最初の例題は、xを1へ近づけるときの（x²−1）/（x−1）の極限です。元の式はx＝1では定義されません。一方、x²−1＝（x−1）（x＋1）なので、x≠1なら分母と同じ因数を約分してx＋1になります。「x≠1」という条件は、約分したあとも残します。

x＝0.9、0.99なら値は1.9、1.99。x＝1.1、1.01なら2.1、2.01です。左右から2へ近づく様子が見えます。ただし、いくつかの数値を試しただけで結論にせず、次の式で近づき方を確かめましょう。

「どれだけ近いか」を差で確かめる

x≠1では、式の値と2との差は（x＋1）−2＝x−1です。差の大きさも同じなので、xと1の距離を0.01未満にすれば、式の値と2の距離も0.01未満になります。もっと小さな正の幅を指定されても、入力を同じ幅の内側へ近づければ応えられます。これが、この例で極限を2と判断できる理由です。

極限は、目標の入力そのものを除いた周囲の値を調べます。したがって、元の式のx＝1での値がなくても、極限2は存在します。0/0は定義されない式であり、0という答えでも、「極限が存在しない」という結論でもありません。

左が1、右が2なら、真ん中を取ればよい？

2つ目の例題では、f(x)＝1（x＜0）、f(x)＝2（x≧0）です。負の側から0へ近づけると、値はずっと1。正の側からなら、ずっと2です。左極限は1、右極限は2で一致しないため、両側極限は存在しません。f(0)＝2という点の値だけでは、左側の食い違いはなくなりません。

平均の3/2にすることもできません。どちら側の値も3/2から0.5離れたままなので、例えば距離を0.1未満にはできないからです。紙に描くなら、左側の高さ1は（0,1）を白丸に、右側の高さ2は（0,2）を黒丸にします。黒丸は実際の点の値を示し、それだけで両側極限を決める印ではありません。

連続とは、周囲の行き先と点の値が合うこと

3つ目の例題はx＝aでの連続性の条件です。ここではaの左右で関数を考えられるものとします。f(a)が定義され、xをaへ近づけた極限が存在し、その極限がf(a)に等しいとき、aで連続です。「点の値があるだけ」でも「左右極限が等しいだけ」でも足りません。

例えば、x≠aでは0、x＝aのときだけ1と決めると、左右極限はともに0なのに点の値は1。連続ではありません。最初の分数も、x≠1での値をそのままにしてx＝1の値を新たに2と定めれば連続になりますが、0と定めれば極限2と食い違います。周囲の行き先を変えずに点の値だけを変えられることが、2つの質問を分ける手がかりです。

3欄メモを使って、穴を埋めてみよう

練習として（x²−4）/（x−2）を考えます。元の式でx＝2は使えません。x≠2で因数分解・約分し、xを2へ近づけた極限を求めてから、x＝2の値を何にすれば連続になるかを書いてください。x≠2ではx＋2なので極限は4、点の値も4と定めれば連続です。もし点の値を0と定めたら、3欄は「0・4・4」となり連続ではありません。

続いて下の3例題を順に解き、答えを見る前に3欄メモへ根拠を書きましょう。代入や等式の意味が曖昧なら前提記事「文字式も怖くない！xや等式の意味がスッキリわかるコツ」へ。位置と値の読み分けは関連記事「線の形だけで判断しない！グラフと座標をスッキリ読むコツ」で復習できます。練習へ進むと「式・関数」の高校・標準問題が選ばれ、この3問以外の同条件の問題も含まれます。

取り組み方

元の式で点の値が定義されるかを確かめ、約分には分母が0でない条件を残す。

点そのものを除き、左と右の近づき方を別々に調べる。

両側極限が存在したら点の値と比べ、一致するときに連続と判断する。

約分しても、元の式の穴は自動では埋まらない

（x²−1）/（x−1）＝x＋1はx≠1での等式です。周囲の極限が2であることと、元の式がx＝1で値を持つことを混同しないようにしましょう。

例題 1

x→1のとき(x²−1)/(x−1)の極限は？

選択肢

存在しない

2

0

1

正解：2

x≠1では（x²−1）/（x−1）＝x＋1です。xを1へ近づけると、周囲の値x＋1は2へ近づくので極限は2です。元の分数へ1を直接入れると0/0で定義されませんが、極限はその点そのものの値ではなく周囲の近づき方を見ます。x＝0.9なら1.9、1.1なら2.1となり、左右から同じ2へ近づきます。

例題 2

f(x)＝1（x＜0）、2（x≧0）。x→0の両側極限は？

選択肢

2

3/2

存在しない

1

正解：存在しない

左極限1と右極限2が異なり、一つの値へ近づかない。

例題 3

x＝aでの連続性の条件は？

選択肢

f(a)が存在するだけ

左右極限が等しいだけ

極限がf(a)＋1に等しい

極限が存在しf(a)に等しい

正解：極限が存在しf(a)に等しい

点の値と周囲の極限の一致が必要。微分可能性までは要求しない。 左右の極限が同じでも、点の値がそれと違えば連続ではありません。例えばx≠aで0、x＝aだけ1とする関数がその例です。