English Explanations for checking this guide Similarity and scale: lengths, areas and volumes This companion brings together explanations included in the guide. If a figure's lengths double, does its area double too? When both the length and width of a rectangle double, two scale factors enter its area. A solid adds a third factor through its height. Identifying the quantity requested explains why the same similarity ratio produces different ratios for different measures. Similar figures have the same shape, with all corresponding lengths changed by one common factor. Their positions and orientations may differ. We work with mathematical figures under stated conditions, rather than measurements of actual objects. Begin with a midpoint segment, then follow the three middle-school-level exercises through areas and volumes. Keep the ratio order and corresponding lengths together If the length ratio of the first figure to the second is 3:4, the factor from the first to the second is 4/3. The two terms compare corresponding lengths with the same role. You cannot combine one figure's base and another's sloping side without establishing that they correspond. Similarity scales corresponding heights and diagonals, as well as sides, by the same factor. Angles are preserved; their numerical values are not multiplied by the length factor. Reversing the comparison gives a factor of 3/4. Keep the direction of the comparison throughout the calculation. Read a midpoint segment as a half-scale corresponding side The first exercise joins the midpoints of two sides of a triangle. For the explanation, call their shared vertex A, the other vertices B and C, and the midpoints of AB and AC M and N. These are names introduced in this text, rather than labels claimed to appear in the exercise's diagram below. Halving both the horizontal and vertical displacements from A to B and from A to C reaches M and N. The horizontal and vertical differences from M to N are each half the corresponding differences from B to C. Because both components shrink by the same factor, MN is parallel to BC and half as long. For example, half of C's horizontal coordinate minus half of B's horizontal coordinate equals half of their original horizontal difference. The vertical calculation is identical. This reasoning does not depend on a horizontally drawn base. Triangle AMN is a half-scale copy of triangle ABC about A. The answer must state both the direction relationship, parallel, and the length relationship, half as long. A choice with only one correct part is insufficient. The presence of two midpoints is not a reason to double the segment's length. Two length factors enter an area Let the common length factor be k. A rectangle with dimensions p and q becomes one with dimensions kp and kq. Its new area, (kp) × (kq), is k² times the original pq. A triangle's base and perpendicular height likewise both scale by k, introducing two factors into base × height / 2. A polygon can be divided into nonoverlapping triangles. If every triangular area scales by k², adding their areas gives the same factor for the whole polygon. For ordinary figures with curved boundaries, approximate their areas from inside and outside with small rectangles. Every rectangular area and the gap between the approximations scale by k². Making that gap smaller carries the same factor to the area of the whole figure. The second exercise gives length ratio 3:4, so the area ratio is 3²:4² = 9:16. Cubing gives 27:64, the ratio used for volumes of similar solids. Leaving 3:4 unchanged retains only one length factor. Producing 6:16 by doubling one term but squaring the other also fails to compare the two areas by the same rule. Three directional factors enter a volume A cuboid with dimensions p, q and r has volume pqr. Scaling every direction by k gives (kp) × (kq) × (kr), or k³ times that volume. As an invented comparison, doubling a 2 cm by 3 cm by 4 cm cuboid gives dimensions 4 cm by 6 cm by 8 cm. Its volume changes from 24 cm³ to 192 cm³, a factor of eight rather than two. For ordinary solids with curved surfaces, approximate the volume from inside and outside with small cuboids. Uniform scaling multiplies each cuboid's volume and the difference between the approximations by k³. As the approximation gap becomes smaller, the original and scaled solid's volumes retain that relationship. This is not a claim that a curved solid can be tiled exactly with finitely many cuboids. The third exercise has length ratio 1:3, giving volume ratio 1³:3³ = 1:27. The ratio 1:9 squares the terms for area; 1:3 retains the original length ratio. The ratio 3:1 also reverses the comparison order. Notice that the midpoint, area and volume exercises supply different length ratios: they are separate comparisons. Distinguish uniform scaling from a one-direction stretch or unit conversion The k² and k³ rules require every corresponding length to change by the same factor. Change an invented 2 cm by 3 cm rectangle to 4 cm by 3 cm: only one direction doubles, while the other stays fixed. Its area doubles from 6 cm² to 12 cm², but these rectangles are not similar. Knowing that one side doubles does not establish a fourfold area increase. Under uniform doubling, the 2 cm by 3 cm rectangle instead becomes 4 cm by 6 cm, with area 24 cm². Its perimeter is a sum of side lengths and doubles from 10 cm to 20 cm. Area and perimeter thus have different factors under the same enlargement. Reduction works in the same way: a half-scale copy has half the lengths, one quarter of the area and one eighth of the volume. Unit conversion expresses the same quantity in another unit. Writing 2 cm as 20 mm does not enlarge the length itself. Here geometric enlargement or reduction changes the figure's lengths and areas measured in the same units. First distinguish a change of shape size from a change of measurement unit. Reconstruct the exercises in the order length, area and volume The exercises below ask about a midpoint segment, an area ratio of similar plane figures and a volume ratio of similar solids. Before opening an answer, write the requested measure and the direction of the comparison. After reading, hide the explanation and reconstruct the parallel-and-half relationship, a product of two lengths and a product of three lengths in your own words. Retain the original exercise and diagram conditions. If matching a base to its height is difficult, return to the prerequisite “Geometry: read the conditions of the shape.” Review ratio direction in “Fractions and ratios: name the whole.” Continue by comparing the related “Changing units while keeping the quantity” with the geometric scaling here, which changes the quantity. “Expressions: give the unknown a role” helps you assign roles to letters, such as k for the factor and S for the original area in k²S. The practice preset selects middle-school-level, standard geometry questions, including matching questions beyond these three examples. How to practise Check the similarity condition, corresponding lengths and order of the ratio. Identify whether the question asks for length, area or volume, then count the directional length factors. Square for two directions or cube for three, keeping units and comparison order consistent. One doubled length does not determine the area Similarity doubles every corresponding length together, giving four times the area. Doubling only one direction of a rectangle gives twice its area. Establish uniform enlargement or reduction from the stated conditions before calculating a ratio. Example 1 In a triangle, how does the segment joining the midpoints of two sides relate to the third side? Choices Perpendicular and half as long Parallel and equally long Perpendicular and equally long Parallel and half as long Answer: Parallel and half as long If the shared vertex is taken as the origin, the two midpoint vectors are half the endpoint vectors. Their difference is half the third-side vector, so the segment is parallel and half as long. Figure description: Small circles mark the midpoints of two sides of a triangle. A segment joins those two points. View the figure and example in the guide: https://irodonia.com/en/quiz/topics/math-similarity-scaling/#examples-heading Example 2 Two similar plane figures have corresponding length ratio 3:4. What is their area ratio? Choices 27：64 9：16 3：4 6：16 Answer: 9：16 Scaling lengths multiplies each of two dimensions by the scale factor. Areas scale by its square, giving 3²:4² = 9:16. Example 3 Two similar solids have corresponding length ratio 1:3. What is their volume ratio? Choices 1：9 3：1 1：27 1：3 Answer: 1：27 All three dimensions scale by 3, so volume scales by 3³ = 27. The ratio is 1:27. 日本語 本文と例題の確認用説明 相似の倍率：長さ・面積・体積を分けて読む この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。 図形を大きくしたとき、長さが二倍なら面積も二倍でしょうか。縦と横の両方が二倍になる長方形なら、面積には二つの倍率が入ります。立体では、さらに高さの倍率も必要です。どの量の比を求めるかを先に決めると、同じ相似比から異なる答えが出る理由を説明できます。 相似とは、形を保ったまま、すべての対応する長さを同じ倍率で変えた関係です。位置や向きが違ってもかまいません。ここでは条件を定めた数学上の図形を扱い、実物の測定結果とは区別します。中点を結ぶ線分から始め、面積と体積へ進む中学段階の三例題を読みましょう。 比の順序と、対応する長さをそろえる 一つ目と二つ目の図形の長さの比が3：4なら、一つ目から二つ目への倍率は4/3です。比の3と4は、同じ役割を持つ辺などの対応する長さを比べています。一方の底辺と他方の斜辺を、対応を確かめず組み合わせることはできません。 相似なら、辺だけでなく、対応する高さや対角線も同じ倍率で変わります。角度は保たれ、角度の数値をその倍率で掛けるわけではありません。二つ目から一つ目へ戻るなら倍率は3/4になります。どちらからどちらへ比べたかを、計算の途中でも保ってください。 中点を結ぶ線分を、半分の大きさの対応辺として見る 最初の例題では、三角形の二辺の中点を結ぶ線分を考えます。説明のため、二辺が出会う頂点をA、残りをB、C、ABとACの中点をM、Nと名づけます。これは本文で使う名前で、下の例題の図に文字が表示されているという意味ではありません。AからB、Cへ進む横と縦の移動を、それぞれ半分にするとM、Nへ着きます。 MからNまでの横の差と縦の差も、BからCまでの差の半分です。どちらの方向の差も同じ割合で縮むので、MNはBCに平行で長さは半分になります。例えば横の差は「Cの横座標の半分−Bの横座標の半分」で、「元の横座標の差の半分」と等しくなります。縦についても同じです。図が横向きであることに頼らない説明です。 三角形AMNは三角形ABCをAを中心に半分へ縮小した形です。平行という向きの関係と、長さが半分という大きさの関係を両方答えます。片方だけ合う選択肢では足りません。中点が二つあるから線分が二倍、という数え方でもありません。 面積には、長さの倍率が二つ入る 一辺ごとの倍率をkとすると、縦p・横qの長方形は縦kp・横kqになります。面積は(kp)×(kq)で、元のp×qのk²倍です。三角形でも底辺と垂直な高さがそれぞれk倍になるので、底辺×高さ÷2の中へ二つの倍率が入ります。 多角形は三角形へ分けて考えられます。各三角形の面積が同じk²倍なら、足し合わせた面積もk²倍です。曲線を含む通常の図形でも、細かな長方形で内側と外側から面積を近似すると、各長方形と近似のすき間の面積が同じk²倍になります。すき間を小さくしていくことで、図形全体にもこの倍率が引き継がれます。 二番目の例題の長さの比は3：4です。面積の比は3²：4²＝9：16になります。27：64は三乗しており、相似な立体の体積へ使う比です。3：4のままでは一方向の長さの比を残しています。6：16のように片方だけ二倍、もう片方を二乗とする操作も、同じ規則で両方の面積を比べていません。 体積には、三つの方向の倍率が入る 縦p・横q・高さrの直方体を、すべての方向へk倍にすると、体積は(kp)×(kq)×(kr)です。元のp×q×rに対してk³倍になります。自作の比較例として2 cm×3 cm×4 cmの直方体を二倍にすると、4 cm×6 cm×8 cmです。体積は24 cm³から192 cm³となり、二倍ではなく八倍です。 曲面のある通常の立体では、小さな直方体で内側と外側から体積を近似して考えられます。一様に拡大すると、各小直方体の体積と、内外の近似の差はk³倍です。近似の差を小さくしていくことで、元の立体と拡大した立体の体積にも同じ関係が残ります。曲面を有限個の直方体でぴったり埋め尽くした、と主張しているわけではありません。 三番目の例題は長さの比が1：3なので、体積の比は1³：3³＝1：27です。1：9は二乗した面積の比、1：3は元の長さの比に当たります。3：1は比べる順序も逆です。最初の中点の例題、次の面積の例題、最後の体積の例題では、与えられた比自体が違うことにも注意しましょう。 一方向だけの引き伸ばしと、単位換算を区別する k²やk³を使えるのは、すべての対応する長さが同じ倍率で変わる条件の下です。自作の2 cm×3 cmの長方形を4 cm×3 cmへ変えると、横方向だけが二倍で、もう一方向は変わりません。面積は6 cm²から12 cm²へ二倍になりますが、この二つの長方形は相似ではありません。一つの辺が二倍という情報だけでは、面積を四倍と決められません。 一様に二倍なら2 cm×3 cmは4 cm×6 cmになり、面積は24 cm²です。周の長さは各辺を足す量なので10 cmから20 cmへ二倍です。面積と周の長さは、同じ拡大でも異なる倍率になります。半分へ縮める場合も同様で、長さは1/2倍、面積は1/4倍、体積は1/8倍です。 単位換算は、同じ量を別の単位で書く操作です。2 cmを20 mmと書いても、長さそのものは増えません。今回の拡大・縮小は、同じ単位で測った図形の長さや面積が変わる話です。数字が変わった理由が、形の拡縮なのか、単位の変更なのかを先に分けます。 三例題を、長さ・面積・体積の順に説明し直す 下の三例題は、中点を結ぶ線分、相似な平面図形の面積比、相似な立体の体積比の順です。解答を開く前に、求める量と比べる順序を書いてください。解説の後は伏せて、平行と半分になる理由、二つの長さの積、三つの長さの積を自分のことばで説明し直します。元の問題や図の条件は変えません。 対応する底辺と高さに迷ったら、前提記事「形の条件を読み解く図形の基礎」へ戻れます。比の向きは「全体を決めて読む分数と比」で確認できます。次は関連記事「量を変えずに表し直す単位の計算」と、量が変わる今回の拡縮を比べてみましょう。「未知の数に役割をつけて読む式」では、kを倍率、元の面積をSとしたときのk²Sのように、文字の役割を分けて読む入口を確認できます。練習設定は中学段階・標準の「図形」で、この三例題以外の一致する問題も含みます。 取り組み方 相似という条件と、対応する長さ・比の順序を確認する。 長さ・面積・体積のどれを問うかを決め、倍率が入る方向の数を数える。 二方向なら二乗、三方向なら三乗し、同じ単位・同じ順序で比を確かめる。 長さが二倍、だけでは面積は決まらない 相似ならすべての対応する長さが同じ二倍となり、面積は四倍です。一方向だけを二倍にした長方形なら面積は二倍になります。比の計算へ進む前に、一様な拡大・縮小なのかを条件から確かめてください。 例題 1 三角形で2辺の中点を結ぶ線分と残りの辺の関係は？ 選択肢 垂直で長さは半分 平行で長さは同じ 垂直で長さは同じ 平行で長さは半分 正解：平行で長さは半分 共通の頂点を原点とし、残る頂点の位置ベクトルをu、vとします。二つの中点はu/2、v/2なので、その間のベクトルは（v−u）/2です。残る辺のベクトルv−uと同じ向きで長さが半分となります。従って中点を結ぶ線分は残る辺に平行で、その長さは半分です。 図の説明：三角形の二辺の中点を小さな丸で示し、その二点を結ぶ線分を描いています。 図と例題を記事で確認：https://irodonia.com/ja/quiz/topics/math-similarity-scaling/#examples-heading 例題 2 相似な図形の長さの比が3：4。面積の比は？ 選択肢 27：64 9：16 3：4 6：16 正解：9：16 相似な図形で長さの比が3：4なら、面積の比は3²：4²＝9：16です。三角形なら底辺も高さも同じ割合で変わるので、底辺×高さ÷2に二つの倍率が入ります。一方向だけの3：4をそのまま面積の比にはしません。27：64は三方向で倍率が入る相似な立体の体積の比です。 例題 3 相似な立体の長さの比が1：3。体積の比は？ 選択肢 1：9 3：1 1：27 1：3 正解：1：27 縦・横・高さがそれぞれ3倍なので体積は27倍。