ひと息学びA LITTLE TIME TO LEARN
数学の特集を読む →

数学 · 関数の合成と逆

どちらを先に使う？矢印でほどく関数の合成と逆関数

編集：ひと息遊戯・ひと息学び 運営 · 公開日： · 編集方針

「1を足してから二乗」と「二乗してから1を足す」は、同じ結果になるでしょうか。入力2なら前者は9、後者は5。関数を組み合わせるときは、式の見た目だけでなく、値が通る順番が答えを決めます。

関数は、使ってよい各入力に出力を1つずつ対応させる規則です。紙に入力→途中の値→出力と書き、合成・逆向きの操作・同じ出力になる入力を順に調べましょう。まず実数全体を入力にする例から始め、後半で入力範囲を変えた場合を比べます。

内側の関数が、最初に通る矢印

最初の例題はf(x)＝x²、g(x)＝x＋1のときのf(g(2))です。内側のg(2)を先に計算して3、それをfの入力にしてf(3)＝9。矢印なら「2 → gで3 → fで9」となります。f(g(2))の括弧は、この受け渡しを表しています。

逆順のg(f(2))なら「2 → fで4 → gで5」です。一般の入力でもf(g(x))＝(x＋1)²、g(f(x))＝x²＋1となり、同じ式ではありません。また、一般に合成するには、内側の出力が外側で使える入力である必要があります。この例の2つの規則は実数を実数へ移すので、その条件を満たします。

逆関数は、操作を逆順にほどく

2つ目の例題では、改めてf(x)＝3x−2とします。ここからのfは最初の二乗の関数とは別です。「3倍して2を引く」を元に戻すには「2を足して3で割る」と逆順にたどります。y＝3x−2をxについて解くとx＝(y＋2)/3。逆関数はf⁻¹(x)＝(x＋2)/3です。

例えば4を入れると10になり、10を逆関数に入れると4に戻ります。さらに、どの実数でも((3x−2)＋2)/3＝x、3((y＋2)/3)−2＝yと往復できます。元の関数の入力も、実際に得られる出力の範囲も実数全体であり、逆関数も実数全体を入力にできます。

肩の−1を「逆数」と読み違えない

逆関数のf⁻¹は、出力から元の入力へ戻す関数の名前です。1/f(x)という逆数とは違います。先ほどのfなら、f⁻¹(2)＝4/3ですが、1/f(2)＝1/4です。しかも1/(3x−2)はx＝2/3では使えない一方、逆関数(x＋2)/3はその入力でも定義されます。

式を見ただけで迷うときは、逆関数の候補に元の出力を入れ、元の入力へ戻るかを確かめましょう。例題の(x−2)/3は、元のfのあとに使うとx−4/3になり戻りません。3x＋2も9x−4になってしまいます。足し引きの符号だけでなく、割り算で3倍を戻しているかも確認します。

同じ出力に2つの入力が集まったら？

3つ目の例題の偶関数は、実数全体でf(−x)＝f(x)となる関数です。偶数の入力だけを使うという意味ではありません。選択肢のx⁴＋1では(−x)⁴＋1＝x⁴＋1なので、この条件が成り立ちます。2x、x³、x＋1は、それぞれ1と−1を入れると違う値になるので偶関数ではありません。

x⁴＋1は1と−1の両方を2へ移します。出力2から元の入力を1つに決められないため、実数全体を入力とするこの関数には、すべての入力へ戻せる逆関数がありません。同じことはx²にも起きます。ただしx²の入力を0以上に制限すれば、出力も0以上となり、非負の平方根で元の入力へ戻せます。元の入力範囲を変えたことを忘れないでください。

矢印を自分で書いて、順序と往復を確かめる

紙の練習ではA(x)＝2x＋3、B(x)＝x²と置きます。A(B(2))とB(A(2))を別々の矢印で計算し、Aの逆関数も作ってみましょう。前者は2→4→11、後者は2→7→49です。Aの逆関数は(x−3)/2で、Aの出力を入れると元の入力へ戻ります。

下の3例題は合成、逆関数、偶関数の順です。解答を見る前に、途中の値・逆向きの計算・符号を変えた入力を書きましょう。文字への代入は前提記事「文字式も怖くない！xや等式の意味がスッキリわかるコツ」へ、二乗による左右対称は関連記事「なぜ二乗の形にするの？平方完成で二次関数がスッキリ解けるコツ」へ。練習では高校・標準の「式・関数」が選ばれ、この3問以外の同条件の問題も含まれます。

TRY & READ

まずは例題で確かめる

選択肢を比べてから「答えと解説を読む」を開いてください。ここで読んだ例題は、テストの解答や成績として保存されません。

例題 2 · 式・関数

f(x)＝3x−2の逆関数は？

  1. f⁻¹(x)＝1/(3x−2)
  2. f⁻¹(x)＝3x＋2
  3. f⁻¹(x)＝(x＋2)/3
  4. f⁻¹(x)＝(x−2)/3
答えと解説を読む

正解：f⁻¹(x)＝(x＋2)/3

y＝3x−2をxについて解くと、y＋2＝3x、x＝（y＋2）/3です。入力と出力の記号を入れ替え、逆関数はf⁻¹(x)＝（x＋2）/3となります。もとの規則「三倍して二を引く」を逆順に戻し、「二を足して三で割る」操作です。

考え方・補足を読む

f⁻¹は逆関数の記号で、1/f(x)という逆数とは別です。

この例題の出典

例題 3 · 式・関数

実数全体で偶関数は？

  1. f(x)＝x＋1
  2. f(x)＝2x
  3. f(x)＝x⁴＋1
  4. f(x)＝x³
答えと解説を読む

正解：f(x)＝x⁴＋1

偶関数の「偶」は、入力が偶数だけというわけではありません。正負を逆にした入力で同じ値になる性質です。偶関数はf(−x)＝f(x)。

考え方・補足を読む

偶数乗の符号は変わらない。

この例題の出典

この特集の出典

クイズで続けてみる

このテーマの範囲は「式・関数」。範囲は「幅広い教養」、難しさは「標準」を最初に選びます。開始画面で条件を変更できます。

このテーマのクイズへ

科目とテーマを選んだ開始画面へ進みます。出題方式・問数を確認してから始められます。

テストは提出後に解説を確認できます。連続チャレンジは回答ごとに解説、復習はこの端末で記録された未解消の誤答が対象です。ひまつぶしは学習記録を更新せずに取り組めます。

関連する特集

学びの特集をすべて見る →

気に入ったら、リンクをシェア

共有するのはこのページのアドレスだけです。保存データや成績は含みません。

このページのリンク