# Mathematics editorial89: original definitions, comparisons and derivations Author: explanation_author_math87 (editorial89). Authored 2026-10-06T00:03:23.148Z, Japan 2026-10-06T09:03:23.148+09:00. checkedAt UTC date 2026-10-06. These are original mathematical explanations and invented examples, not measured data or claims about real populations. No external factual assertion or quotation is added. Existing external source metadata remains unchanged. This author check is not independent review, production validation or measured learning improvement. No questions or articles are added. The current 425 Japanese and 300 English explanations were inspected. Sufficient v0.87 derivations were retained. Selected blind packet: output/editorial89/authors/math/blind-input.json; SHA-256 f64cac83a0c3747c7abc758cc134a67eade82caa7e327c7c35ca9a659f4f123a. Initial independent answers were saved before this authored packet was shared. Original explanation strings remain intact as contiguous substrings; original question fields and original article paragraphs are not rewritten. ## Preserved original-source context - docs/quiz/math-authoring.md; SHA-256 fbdd98ed55ce0aaa29327f45c8d7863d9dc28342b26278384f8030ebdc25bd72. The source describes original derivations, with external links supplying curriculum context rather than these questions' numerical answers. - docs/quiz/math-basics-20261004-authoring.md; SHA-256 873f356dac459bf9f97537d3879f2e1e0c446809b3acf129545c6a78173b0ff3. The source describes original derivations, with external links supplying curriculum context rather than these questions' numerical answers. - docs/quiz/math-daily-20261004-data-authoring.md; SHA-256 6b41fe927c5b8932669a4aea6aa0810d52adc0c3e54dd56b110f7dc50cc6eac9. The source describes original derivations, with external links supplying curriculum context rather than these questions' numerical answers. - docs/quiz/explanations87-math-derivations-v3.md; SHA-256 2f9a0ba22f7d1ceda9f811d74e8b07ad80deb6c65b128bc99debcd4e52c51c86. The source describes original derivations, with external links supplying curriculum context rather than these questions' numerical answers. ## ma-0016 Question: 40人の25％は？ - a: 15人 - b: 20人 - c: 25人 - d: 10人 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: 25/100=1/4;40*25/100=10. a15=37.5%,b20=50%,c25=62.5%,d10=25%. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0016**（ma-percent、r1、条件から数値再計算あり）：25％＝1/4なので、40÷4＝10人。 Preserved JA explanation: 25％＝1/4なので、40÷4＝10人。 JA prefix: ％は「百に対していくつか」を表す割合です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: ％は「百に対していくつか」を表す割合です。25％＝1/4なので、40÷4＝10人。 Preserved EN explanation: 25% is one quarter. One quarter of 40 is 40 ÷ 4 = 10 people. Proposed EN explanation: A percentage counts parts per hundred. 25% is one quarter. One quarter of 40 is 40 ÷ 4 = 10 people. ## ma-0020 Question: 72÷8＝9を確かめる式は？ - a: 72＋8＝80 - b: 9−8＝1 - c: 72×8＝576 - d: 9×8＝72 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: 72/8=9;9*8=72. a72+8=80 true but not division inverse; b9-8=1 same; c72*8=576 not inverse; d reconstructs dividend. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0020**（ma-inverse-check、r1、式・定義による説明）：商に割る数を掛けると割られる数に戻る。 Preserved JA explanation: 商に割る数を掛けると割られる数に戻る。 JA prefix: 商は割り算の答えで、ここでは9です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 商は割り算の答えで、ここでは9です。商に割る数を掛けると割られる数に戻る。 Preserved EN explanation: Multiplying the quotient by the divisor should recover the dividend: 9 × 8 = 72. Proposed EN explanation: The quotient is the result of a division: here it is 9. Multiplying the quotient by the divisor should recover the dividend: 9 × 8 = 72. ## ma-0021 Question: −7＋12は？ - a: 5 - b: −5 - c: 19 - d: −19 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: abs(-7)=7,abs12=12. -7+12=5; a5 correct; b-5 wrong sign;c19 adds magnitudes;d-19 magnitude and sign wrong. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0021**（ma-signed-add、r1、条件から数値再計算あり）：異符号の和は絶対値の差。大きい12側の正符号になる。 Preserved JA explanation: 異符号の和は絶対値の差。大きい12側の正符号になる。 JA prefix: 絶対値は、数直線で零からその数までの距離です。 JA suffix: したがって12−7＝5です。 Proposed JA explanation: 絶対値は、数直線で零からその数までの距離です。異符号の和は絶対値の差。大きい12側の正符号になる。したがって12−7＝5です。 Preserved EN explanation: Starting at −7 and moving 12 units to the right gives 5. For opposite signs, subtract the smaller absolute value from the larger. Proposed EN explanation: Absolute value means distance from zero on the number line. Starting at −7 and moving 12 units to the right gives 5. For opposite signs, subtract the smaller absolute value from the larger. ## ma-0024 Question: 数直線で−6と2の距離は？ - a: 4 - b: −8 - c: −4 - d: 8 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: 2-(-6)=8=abs(-6-2). a4 adds signed positions rather than distance;b-8,c-4 negative not distance;d8 correct. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0024**（ma-absolute-value、r1、条件から数値再計算あり）：距離は差の絶対値で、2−（−6）＝8。 Preserved JA explanation: 距離は差の絶対値で、2−（−6）＝8。 JA prefix: 絶対値で表した距離は零以上になり、向きを表す負号は付きません。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 絶対値で表した距離は零以上になり、向きを表す負号は付きません。距離は差の絶対値で、2−（−6）＝8。 Preserved EN explanation: Distance is the absolute difference. |2 − (−6)| = |8| = 8, so it cannot be negative. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0034 Question: √81の値は？ - a: 40.5 - b: 9 - c: ±9 - d: −9 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: 9^2=(-9)^2=81; sqrt convention selects9. a40.5^2=1640.25;b9 correct;c±9 solution set of x²=81, not sqrt value;d-9 excluded nonnegative. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0034**（ma-root、r1、条件から数値再計算あり）：√は非負の平方根を表す。x²＝81の解の集合とは区別する。 Preserved JA explanation: √は非負の平方根を表す。x²＝81の解の集合とは区別する。 JA prefix: 平方根は二乗すると元の数になる数で、9²も（−9）²も81です。 JA suffix: √81として選ぶのは9だけです。 Proposed JA explanation: 平方根は二乗すると元の数になる数で、9²も（−9）²も81です。√は非負の平方根を表す。x²＝81の解の集合とは区別する。√81として選ぶのは9だけです。 Preserved EN explanation: The square-root symbol denotes the nonnegative square root. Since 9² = 81, √81 = 9. The equation x² = 81, by contrast, has two solutions. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0036 Question: 1/√3の分母を有理化した形は？ - a: √3 - b: 3/√3 - c: 1/3 - d: √3/3 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: (1/sqrt3)*(sqrt3/sqrt3)=sqrt3/3. multiply each option bysqrt3:a3,b3,c1/sqrt3,d1; onlyd reconstruct numerator1. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0036**（ma-root-rationalize、r1、式・定義による説明）：分子分母に√3を掛け、分母を3にする。 Preserved JA explanation: 分子分母に√3を掛け、分母を3にする。 JA prefix: 有理化は、値を保ったまま分母に根号がない形へ直すことです。 JA suffix: 分子も√3になるので、結果は√3/3です。 Proposed JA explanation: 有理化は、値を保ったまま分母に根号がない形へ直すことです。分子分母に√3を掛け、分母を3にする。分子も√3になるので、結果は√3/3です。 Preserved EN explanation: Multiply numerator and denominator by √3. The denominator becomes 3, giving √3/3. Proposed EN explanation: Rationalizing a denominator removes its radical without changing the value of the fraction. Multiply numerator and denominator by √3. The denominator becomes 3, giving √3/3. ## ma-0041 Question: 3²×3⁴は？ - a: 3⁶ - b: 3⁸ - c: 9⁶ - d: 6⁶ Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: 3²*3⁴=9*81=729=3⁶. a729;b3⁸=6561;c9⁶=531441;d6⁶=46656. No general adding exponents across different bases. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0041**（ma-exponent-product、r1、式・定義による説明）：底が同じ積では指数を足す。2＋4＝6。 Preserved JA explanation: 底が同じ積では指数を足す。2＋4＝6。 JA prefix: 底は繰り返し掛ける数、指数は掛ける個数です。ここでは底が3です。 JA suffix: 3を二つと四つ、合わせて六つ掛けています。 Proposed JA explanation: 底は繰り返し掛ける数、指数は掛ける個数です。ここでは底が3です。底が同じ積では指数を足す。2＋4＝6。3を二つと四つ、合わせて六つ掛けています。 Preserved EN explanation: For powers with the same base, multiplication adds the exponents: 3² × 3⁴ = 3⁶. Proposed EN explanation: The base is the repeated factor; the exponent counts its copies. Here the base is 3. For powers with the same base, multiplication adds the exponents: 3² × 3⁴ = 3⁶. ## ma-0048 Question: z＝3−4iの複素共役は？ - a: −3＋4i - b: −3−4i - c: 4−3i - d: 3＋4i Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: conjugate(a+bi)=a-bi;z=3-4i gives3+4i. a,b change real3 to-3;c swaps coefficients;d correct. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0048**（ma-complex-conjugate、r1、式・定義による説明）：実部を保ち、虚部の符号だけを変える。 Preserved JA explanation: 実部を保ち、虚部の符号だけを変える。 JA prefix: 3−4iでは実部は3、虚部は−4です。虚部はi自体でなく、その係数を指します。 JA suffix: 共役は3＋4iです。 Proposed JA explanation: 3−4iでは実部は3、虚部は−4です。虚部はi自体でなく、その係数を指します。実部を保ち、虚部の符号だけを変える。共役は3＋4iです。 Preserved EN explanation: Complex conjugation keeps the real part and reverses the sign of the imaginary part, giving 3 + 4i. Proposed EN explanation: The imaginary part of 3 − 4i is the real coefficient −4; its real part is 3. Complex conjugation keeps the real part and reverses the sign of the imaginary part, giving 3 + 4i. ## ma-0049 Question: 3＋4iの絶対値は？ - a: 5 - b: 7 - c: 25 - d: 1 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: sqrt(3²+4²)=sqrt25=5. a5 correct;b7 is component sum;c25 squared distance;d1 component difference. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0049**（ma-complex-modulus、r1、条件から数値再計算あり）：複素平面の原点からの距離は√(3²＋4²)。 Preserved JA explanation: 複素平面の原点からの距離は√(3²＋4²)。 JA prefix: 複素平面では3＋4iを、横3、縦4の点として表します。 JA suffix: 3²＋4²＝25なので、距離は5です。 Proposed JA explanation: 複素平面では3＋4iを、横3、縦4の点として表します。複素平面の原点からの距離は√(3²＋4²)。3²＋4²＝25なので、距離は5です。 Preserved EN explanation: The modulus is distance from the origin in the complex plane: √(3² + 4²) = √25 = 5. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0058 Question: 真の長さ200 cmを202 cmと測った。相対誤差の絶対値は？ - a: 101％ - b: 1％ - c: 2％ - d: 0.5％ Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: abs202-200=2cm;2/200=.01=1%. a101% measured/true ratio;c2% confuses2cm andpercent;d.5% woulderror1cm. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0058**（ma-relative-error、r1、条件から数値再計算あり）：絶対誤差2 cmを真値200 cmで割ると0.01。 Preserved JA explanation: 絶対誤差2 cmを真値200 cmで割ると0.01。 JA prefix: 絶対誤差は長さの差そのもの、相対誤差は真の長さに対する割合です。 JA suffix: 0.01を百分率で表すと1％です。 Proposed JA explanation: 絶対誤差は長さの差そのもの、相対誤差は真の長さに対する割合です。絶対誤差2 cmを真値200 cmで割ると0.01。0.01を百分率で表すと1％です。 Preserved EN explanation: The absolute error is |202 − 200| = 2 cm. Divide by the true length: 2/200 = 0.01 = 1%. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0061 Question: 自然数全体と偶数全体の要素数を無限集合として比べると？ - a: 一対一対応がある - b: 偶数は有限 - c: 自然数が必ず2倍 - d: 対応は作れない Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: n→2n injective:2n=2m impliesn=m;onto evens:2k isimage ofk; inverse halve. a true;b evens unbounded infinite;c cardinalitynot finiteproportion;d contradictedexplicitmap. Convention natural0 or1 bothmap compatible. If even integers include negatives and zero, enumerate e0=0, e(2k-1)=2k and e(2k)=-2k for k>=1. Every integer even value occurs exactly once, giving a bijection from nonnegative integers; if naturals begin at1, shift the index by1. The old n→2n assertion is expressly scoped to evens within the naturals before the old sentence. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0061**（ma-countability、r1、式・定義による説明）：nを2nへ送る対応は全単射。有限集合の割合の直感はそのまま使えない。 Preserved JA explanation: nを2nへ送る対応は全単射。有限集合の割合の直感はそのまま使えない。 JA prefix: 全単射とは、異なる要素を一つずつ対応させ、相手側にも取り残しがない対応です。自然数の中の偶数への対応については、 JA suffix: 負の整数も含む偶数なら0、2、−2、4、−4、…と順に番号を付けても一対一対応を作れるため、結論は同じです。 Proposed JA explanation: 全単射とは、異なる要素を一つずつ対応させ、相手側にも取り残しがない対応です。自然数の中の偶数への対応については、nを2nへ送る対応は全単射。有限集合の割合の直感はそのまま使えない。負の整数も含む偶数なら0、2、−2、4、−4、…と順に番号を付けても一対一対応を作れるため、結論は同じです。 Preserved EN explanation: The map n ↦ 2n pairs every natural number with exactly one even natural number, and every even natural number is reached. This is a bijection, so the sets have the same cardinality. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0063 Question: gcd(252,198)を求める互除法で最初にする操作は？ - a: 252²を計算する - b: 198を素数と決める - c: 252＝198＋54と書く - d: 252＋198を計算する Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: 252=198*1+54; divisorofboth iff divisor198&54 bysubtraction. ccorrect;a square notstep;b198=2*99 nonprime;d450 sumnotdivisionstep. Fullgcd:198=54*3+36;54=36+18;36=18*2 =>18. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0063**（ma-euclidean-algorithm、r2、式・定義による説明）：割った余りを使い、gcd(252,198)＝gcd(198,54)へ進める。 Preserved JA explanation: 割った余りを使い、gcd(252,198)＝gcd(198,54)へ進める。 JA prefix: gcdはgreatest common divisorの略で、最大公約数、つまり両方の整数を割り切れる正の数のうち最大のものです。 JA suffix: 252を198で割ると商1、余り54になります。 Proposed JA explanation: gcdはgreatest common divisorの略で、最大公約数、つまり両方の整数を割り切れる正の数のうち最大のものです。割った余りを使い、gcd(252,198)＝gcd(198,54)へ進める。252を198で割ると商1、余り54になります。 ## ma-0069 Question: 1から12までで12と互いに素な整数は何個？ - a: 4個 - b: 5個 - c: 6個 - d: 8個 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: Divisors12 contain2,3.1..12 avoidingbothmultiples:1,5,7,11 gives4 (a). b5,c6,d8 excludedcount;1 qualifiesgcd1,12 notgcd12. For positive integer n, φ(n) counts k in1..n with gcd(k,n)=1; φ(12)=4. This is a definition of notation, not a new claim about prime-only entries. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0069**（ma-totient、r1、条件から数値再計算あり）：該当するのは1、5、7、11。これがφ(12)。 Preserved JA explanation: 該当するのは1、5、7、11。これがφ(12)。 JA prefix: 互いに素とは、二つの整数の最大公約数が1であることです。φ(n)は、1からnまででnと互いに素な整数の個数を表します。 JA suffix: 各数が素数かどうかとは別の条件です。 Proposed JA explanation: 互いに素とは、二つの整数の最大公約数が1であることです。φ(n)は、1からnまででnと互いに素な整数の個数を表します。該当するのは1、5、7、11。これがφ(12)。各数が素数かどうかとは別の条件です。 ## ma-0070 Question: 互いに素だが両方とも合成数の組は？ - a: 9と15 - b: 8と9 - c: 6と10 - d: 4と8 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: a gcd9,15=3;c gcd6,10=2;d gcd4,8=4;b gcd8,9=1 and composite2³,3². Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0070**（ma-coprime-not-prime、r1、式・定義による説明）：8と9の最大公約数は1。互いに素という関係は各数が素数であることと別。 Preserved JA explanation: 8と9の最大公約数は1。互いに素という関係は各数が素数であることと別。 JA prefix: 合成数は、1と自分以外にも正の約数を持つ、1より大きい整数です。 JA suffix: 8＝2³、9＝3²なので、どちらも合成数です。 Proposed JA explanation: 合成数は、1と自分以外にも正の約数を持つ、1より大きい整数です。8と9の最大公約数は1。互いに素という関係は各数が素数であることと別。8＝2³、9＝3²なので、どちらも合成数です。 ## ma-0092 Question: 長方形の周の長さP＝2(a＋b)。a＝7、b＝3ならPは？ - a: 21 - b: 10 - c: 14 - d: 20 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: P=7+3+7+3=20 (d);a21 area;b10 halfperimeter;c14 onlytwo7s. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0092**（ma-formula-substitute、r1、条件から数値再計算あり）：幅と高さを足してから2倍する。面積の公式abとは異なる。 Preserved JA explanation: 幅と高さを足してから2倍する。面積の公式abとは異なる。 JA prefix: 周の長さは外側の境界に沿った長さ、面積は内側を覆う広さです。 JA suffix: 2×（7＋3）＝20です。 Proposed JA explanation: 周の長さは外側の境界に沿った長さ、面積は内側を覆う広さです。幅と高さを足してから2倍する。面積の公式abとは異なる。2×（7＋3）＝20です。 ## ma-0107 Question: y＝−2x＋5のy切片は？ - a: −5 - b: 2.5 - c: 5 - d: −2 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: x0→y5(c);a-5 signwrong;b2.5 xintercept from0=-2x+5;d-2 slope. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0107**（ma-intercept、r1、条件から数値再計算あり）：y軸上ではx＝0。代入してy＝5。 Preserved JA explanation: y軸上ではx＝0。代入してy＝5。 JA prefix: y切片は、グラフがy軸と交わる点のy座標です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: y切片は、グラフがy軸と交わる点のy座標です。y軸上ではx＝0。代入してy＝5。 Preserved EN explanation: At the y-axis, x = 0. Substitution gives y = 5, so the y-intercept is 5. Proposed EN explanation: The y-intercept is the y-coordinate where the graph crosses the y-axis. At the y-axis, x = 0. Substitution gives y = 5, so the y-intercept is 5. ## ma-0110 Question: x²−25の因数分解は？ - a: （x＋5）² - b: （x−5）（x＋5） - c: （x−5）² - d: （x−25）（x＋1） Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: b(x-5)(x+5)=x²-25. a=x²+10x+25;c=x²-10x+25;d=x²-24x-25. Atx1:a36,b-24,c16,d-48. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0110**（ma-difference-squares、r1、式・定義による説明）：a²−b²＝(a−b)(a＋b)をa＝x、b＝5に使う。 Preserved JA explanation: a²−b²＝(a−b)(a＋b)をa＝x、b＝5に使う。 JA prefix: 因数分解は、式を掛け算の形に書き直すことです。 JA suffix: 展開し直すとx²−25に戻ります。 Proposed JA explanation: 因数分解は、式を掛け算の形に書き直すことです。a²−b²＝(a−b)(a＋b)をa＝x、b＝5に使う。展開し直すとx²−25に戻ります。 Preserved EN explanation: Use the difference of squares: x² − 5² = (x − 5)(x + 5). Proposed EN explanation: Factorization rewrites an expression as a product. Use the difference of squares: x² − 5² = (x − 5)(x + 5). ## ma-0114 Question: y＝(x−2)²＋1の対称軸は？ - a: y＝2 - b: x＝2 - c: y＝1 - d: x＝−2 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: x2±t→t²+1;axisx2(b). a y2 reflection sendsvertex(2,1)→(2,3) notunique graphat2;c y1 sends(1,2)→(1,0) absent;d x-2 sendsvertex2→-6 and graphy65 not1. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0114**（ma-quadratic-axis、r2、式・定義による説明）：二乗項はx＝2を中心に左右同じ値になる。 Preserved JA explanation: 二乗項はx＝2を中心に左右同じ値になる。 JA prefix: 対称軸は、グラフをその線で折り返したときに重なる線です。 JA suffix: 例えばx＝1と3でどちらもy＝2となり、中央はx＝2です。 Proposed JA explanation: 対称軸は、グラフをその線で折り返したときに重なる線です。二乗項はx＝2を中心に左右同じ値になる。例えばx＝1と3でどちらもy＝2となり、中央はx＝2です。 Preserved EN explanation: Inputs equally far to either side of x = 2 give the same squared value, so the vertical symmetry axis is x = 2. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0128 Question: sin(π/6)は？ - a: √3/2 - b: √2/2 - c: 1 - d: 1/2 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: π/6=180°/6=30°. unit-equilateral split hypotenuse2 opposite1 =>sin30=.5(d). a√3/2≈.866 cos30;b√2/2≈.707 sin45;c1 sin90. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0128**（ma-sin-radian、r1、条件から数値再計算あり）：π/6は30°。正三角形の半分で、対辺と斜辺の比が1/2。 Preserved JA explanation: π/6は30°。正三角形の半分で、対辺と斜辺の比が1/2。 JA prefix: ラジアンは、円の弧の長さを半径で割って表す角の単位です。半周の弧はπ倍の半径なのでπラジアン＝180°です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: ラジアンは、円の弧の長さを半径で割って表す角の単位です。半周の弧はπ倍の半径なのでπラジアン＝180°です。π/6は30°。正三角形の半分で、対辺と斜辺の比が1/2。 Preserved EN explanation: π/6 radians is 30°. Splitting an equilateral triangle in half gives a right triangle with the side opposite 30° half the hypotenuse, so the sine is 1/2. Proposed EN explanation: Radians measure an angle by arc length divided by radius. A half-turn is π radians, or 180°. π/6 radians is 30°. Splitting an equilateral triangle in half gives a right triangle with the side opposite 30° half the hypotenuse, so the sine is 1/2. ## ma-0129 Question: すべての実数θについてsin²θ＋cos²θは？ - a: 1 - b: 0 - c: 2 - d: sinθ＋cosθ Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: x²+y²=1 withxcosθ,ysinθ =>sum1(a). atθ0 b0,c2 false;d sin+cos notidentity:θπ/4=√2 not1. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0129**（ma-trig-identity、r1、条件から数値再計算あり）：単位円上の座標が(cosθ,sinθ)なので二乗和は半径の二乗1。 Preserved JA explanation: 単位円上の座標が(cosθ,sinθ)なので二乗和は半径の二乗1。 JA prefix: 単位円は、原点を中心とする半径1の円です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 単位円は、原点を中心とする半径1の円です。単位円上の座標が(cosθ,sinθ)なので二乗和は半径の二乗1。 Preserved EN explanation: On the unit circle, the coordinates are (cos θ, sin θ). Their squared sum is the squared radius, which is 1. Proposed EN explanation: The unit circle is the circle centred at the origin with radius 1. On the unit circle, the coordinates are (cos θ, sin θ). Their squared sum is the squared radius, which is 1. ## ma-0138 Question: 実数全体で偶関数は？ - a: f(x)＝2x - b: f(x)＝x⁴＋1 - c: f(x)＝x³ - d: f(x)＝x＋1 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: b(-x)^4+1=x⁴+1 allreal. a at±1 gives±2;c±1 gives±1;d at1=2,-1=0. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0138**（ma-even-function、r1、式・定義による説明）：偶関数はf(−x)＝f(x)。偶数乗の符号は変わらない。 Preserved JA explanation: 偶関数はf(−x)＝f(x)。偶数乗の符号は変わらない。 JA prefix: 偶関数の「偶」は、入力が偶数だけという意味ではありません。正負を逆にした入力で同じ値になる性質です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 偶関数の「偶」は、入力が偶数だけという意味ではありません。正負を逆にした入力で同じ値になる性質です。偶関数はf(−x)＝f(x)。偶数乗の符号は変わらない。 Preserved EN explanation: An even function satisfies f(−x) = f(x). For x⁴ + 1, the fourth power is unchanged by reversing the sign of x. The other choices fail this identity. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0139 Question: sin(2x)の最小の正の周期は？ - a: π/2 - b: 4π - c: π - d: 2π Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: sin2(x+T)=sin2x allx iff2T multiple2π. Atx0 forces sin2T0,atxπ/4 forcescos2T1 =>2T=2kπ;leastTπ(c). aπ/2 changes sign e.gxπ/4 1→-1;b4π,d2π periodsnotleast. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0139**（ma-period、r1、式・定義による説明）：xをπ増やすと中の角が2π増える。 Preserved JA explanation: xをπ増やすと中の角が2π増える。 JA prefix: 周期は、入力をその正の幅だけずらしても、すべての入力で同じ値を取る幅です。 JA suffix: sinの最小正周期2πを、入力の係数2で割るのでπです。 Proposed JA explanation: 周期は、入力をその正の幅だけずらしても、すべての入力で同じ値を取る幅です。xをπ増やすと中の角が2π増える。sinの最小正周期2πを、入力の係数2で割るのでπです。 Preserved EN explanation: Sine repeats after an angle increase of 2π. Increasing x by π increases 2x by 2π, so the smallest positive period is π. Proposed EN explanation: A period is a positive input shift that leaves every function value unchanged. Sine repeats after an angle increase of 2π. Increasing x by π increases 2x by 2π, so the smallest positive period is π. ## ma-0155 Question: x²の不定積分は？ - a: x³＋C - b: x²/2＋C - c: x³/3＋C - d: 2x＋C Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: derivative x³/3+C=x²(c);a3x²;b x;d2. Atx2 target4,a12,b2,d2. OnR polynomialconnected domain constants coverallprimitives. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0155**（ma-antiderivative、r2、式・定義による説明）：微分するとx²に戻る式。任意定数Cを付ける。 Preserved JA explanation: 微分するとx²に戻る式。任意定数Cを付ける。 JA prefix: 不定積分は、微分すると与えられた関数になる関数を、定数の違いも含めて表します。 JA suffix: x³/3＋Cを微分すると、3x²/3＋0＝x²です。定数Cの微分は0なので、どのCでも同じx²へ戻ります。 Proposed JA explanation: 不定積分は、微分すると与えられた関数になる関数を、定数の違いも含めて表します。微分するとx²に戻る式。任意定数Cを付ける。x³/3＋Cを微分すると、3x²/3＋0＝x²です。定数Cの微分は0なので、どのCでも同じx²へ戻ります。 Preserved EN explanation: The derivative of x³/3 is x². Add an arbitrary constant C because its derivative is zero. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0162 Question: 長方形の4つの角はすべて？ - a: 60° - b: 直角 - c: 鋭角 - d: 鈍角 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: rectangle four90 degrees b. Acute 0<θ<90;obtuse90<θ<180. a60 not90;c acute<90;d obtuse>90. Zero and negative angles are not called acute by this definition. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0162**（ma-rectangle-definition、r1、式・定義による説明）：四角が直角であることが長方形の定義。辺の長さはすべて同じとは限らない。 Preserved JA explanation: 四角が直角であることが長方形の定義。辺の長さはすべて同じとは限らない。 JA prefix: 直角は90°の角、鋭角は0°より大きく90°より小さい角、鈍角は90°より大きく180°より小さい角です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 直角は90°の角、鋭角は0°より大きく90°より小さい角、鈍角は90°より大きく180°より小さい角です。四角が直角であることが長方形の定義。辺の長さはすべて同じとは限らない。 Preserved EN explanation: A rectangle is a quadrilateral with four right angles. Its sides need not all have the same length. Proposed EN explanation: A right angle is 90 degrees; an acute angle lies strictly between 0 and 90 degrees, and an obtuse angle lies strictly between 90 and 180 degrees. A rectangle is a quadrilateral with four right angles. Its sides need not all have the same length. ## ma-0163 Question: 正方形について必ず正しいのは？ - a: 内角が60° - b: 向かい合う辺が交わる - c: 長方形でもある - d: 対角線が辺と等しい Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: sidea>0 squareangles90 =>rectangle(c). a60 wrong;b oppositesparallel notintersect;d diagonal√2a>a. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0163**（ma-square-inclusion、r1、式・定義による説明）：正方形は四角が直角で、長方形の条件も満たす。 Preserved JA explanation: 正方形は四角が直角で、長方形の条件も満たす。 JA prefix: 正方形は四辺が同じ長さで、四つの角がすべて90°の四角形です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 正方形は四辺が同じ長さで、四つの角がすべて90°の四角形です。正方形は四角が直角で、長方形の条件も満たす。 Preserved EN explanation: A square has four right angles, so it meets the definition of a rectangle as well as having four equal sides. Its diagonals are longer than its sides. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0168 Question: 縦4 cm、横7 cmの長方形の面積は？ - a: 22 cm² - b: 11 cm² - c: 56 cm² - d: 28 cm² Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: 4*7=28(d), tiles4rows7cols. a22 perimeter2(4+7) wrongquantity;b11 halvesperimeter;c56 doublearea. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0168**（ma-rectangle-area、r1、条件から数値再計算あり）：単位正方形が4×7個並ぶ。面積の単位はcm²。 Preserved JA explanation: 単位正方形が4×7個並ぶ。面積の単位はcm²。 JA prefix: 面積は平面を覆う広さです。1 cm²は、一辺1 cmの正方形一枚分の面積です。 JA suffix: 一枚分が28個で、面積は28 cm²です。 Proposed JA explanation: 面積は平面を覆う広さです。1 cm²は、一辺1 cmの正方形一枚分の面積です。単位正方形が4×7個並ぶ。面積の単位はcm²。一枚分が28個で、面積は28 cm²です。 ## ma-0173 Question: 半径3 cmの円の周の長さをπで表すと？ - a: 6π cm - b: 3π cm - c: 9π cm - d: 12π cm Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: r3 d6 Cπd=6π(a). b3π missing2;c9π usesareaπr² withwrongdimension;d12π doublesdiameteragain. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0173**（ma-circle-circumference、r1、条件から数値再計算あり）：円周＝2πr。半径を直径と取り違えない。 Preserved JA explanation: 円周＝2πr。半径を直径と取り違えない。 JA prefix: 半径は中心から円周まで、直径は中心を通る端から端までの長さです。直径は半径の2倍です。 JA suffix: 2π×3＝6π cmになります。 Proposed JA explanation: 半径は中心から円周まで、直径は中心を通る端から端までの長さです。直径は半径の2倍です。円周＝2πr。半径を直径と取り違えない。2π×3＝6π cmになります。 Preserved EN explanation: Circumference is π times the diameter. The diameter is twice the radius, giving 2π × 3 = 6π cm. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0175 Question: 縦2 cm、横3 cm、高さ5 cmの直方体の体積は？ - a: 62 cm³ - b: 15 cm³ - c: 30 cm³ - d: 10 cm³ Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: 2*3*5=30(c). a62 surface2(6+15+10) dimensioncm² notvolume;b15 omits2;d10 omits3. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0175**（ma-cuboid-volume、r1、条件から数値再計算あり）：底面積2×3に高さ5を掛ける。体積はcm³で表す。 Preserved JA explanation: 底面積2×3に高さ5を掛ける。体積はcm³で表す。 JA prefix: 体積は立体が占める空間の大きさです。1 cm³は一辺1 cmの立方体一個分の体積です。 JA suffix: 一段に6個、五段で30個分なので30 cm³です。 Proposed JA explanation: 体積は立体が占める空間の大きさです。1 cm³は一辺1 cmの立方体一個分の体積です。底面積2×3に高さ5を掛ける。体積はcm³で表す。一段に6個、五段で30個分なので30 cm³です。 ## ma-0176 Question: 一辺4 cmの立方体の表面積は？ - a: 64 cm² - b: 48 cm² - c: 16 cm² - d: 96 cm² Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: eachface4²=16,sixfaces96(d). a64 volume4³ withwrongdimension;b48 only3faces;c16 oneface. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0176**（ma-cube-surface、r1、条件から数値再計算あり）：1面16 cm²が6面ある。4³は体積である。 Preserved JA explanation: 1面16 cm²が6面ある。4³は体積である。 JA prefix: 表面積は、立体の外側の面の面積を合わせたものです。中の空間の大きさである体積とは区別します。 JA suffix: 16×6＝96 cm²です。 Proposed JA explanation: 表面積は、立体の外側の面の面積を合わせたものです。中の空間の大きさである体積とは区別します。1面16 cm²が6面ある。4³は体積である。16×6＝96 cm²です。 Preserved EN explanation: Each of its six square faces has area 4² = 16 cm². The total is 6 × 16 = 96 cm². The quantity 4³ would be volume. Proposed EN explanation: Surface area totals the areas of the outside faces; volume measures the space inside. Each of its six square faces has area 4² = 16 cm². The total is 6 × 16 = 96 cm². The quantity 4³ would be volume. ## ma-0177 Question: 半径2 cm、高さ3 cmの円柱の体積は？ - a: 12π cm³ - b: 6π cm³ - c: 4π cm³ - d: 18π cm³ Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: baseπ2²=4π height3 volume12π(a). b6π forgetsradius-square;c4π justbasearea;d18π wronglyπheight²*radius. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0177**（ma-cylinder-volume、r1、条件から数値再計算あり）：底面積4πに高さ3を掛ける。 Preserved JA explanation: 底面積4πに高さ3を掛ける。 JA prefix: 円柱の体積は、同じ円形の底面が高さの分だけ重なった空間の大きさです。 JA suffix: π×2²×3＝12π cm³で、面積のcm²とは単位も違います。 Proposed JA explanation: 円柱の体積は、同じ円形の底面が高さの分だけ重なった空間の大きさです。底面積4πに高さ3を掛ける。π×2²×3＝12π cm³で、面積のcm²とは単位も違います。 ## ma-0180 Question: 立方体の展開図を作る正方形の枚数は？ - a: 4枚 - b: 5枚 - c: 8枚 - d: 6枚 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: cube sixfaces hence6squares(d);a4,b5 facesmissing;c8 extra. Sixsquares necessarynot sufficient:straightrow6squares foldsround4faceswithoverlap,notcube net. No specificnet impliedbyquestion. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0180**（ma-net-cube、r1、式・定義による説明）：立方体は6面。各面を1枚の正方形として展開する。 Preserved JA explanation: 立方体は6面。各面を1枚の正方形として展開する。 JA prefix: 展開図は、立体の面を切り開いて平面に並べた図です。 JA suffix: ただし、正方形六枚をどんな配置に並べても立方体に戻せるわけではありません。 Proposed JA explanation: 展開図は、立体の面を切り開いて平面に並べた図です。立方体は6面。各面を1枚の正方形として展開する。ただし、正方形六枚をどんな配置に並べても立方体に戻せるわけではありません。 ## ma-0181 Question: 2直線が交わり1つの角が35°。その対頂角は？ - a: 35° - b: 55° - c: 145° - d: 180° Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: angleθ35,adjacent180-35=145(c);opposite180-145=35(a);b55 complementnotvertical;d180 straightnot35. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0181**（ma-vertical-angles、r1、式・定義による説明）：対頂角は等しい。隣接する角145°とは区別する。 Preserved JA explanation: 対頂角は等しい。隣接する角145°とは区別する。 JA prefix: 対頂角は、二直線の交点で向かい合い、辺を共有しない二つの角です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 対頂角は、二直線の交点で向かい合い、辺を共有しない二つの角です。対頂角は等しい。隣接する角145°とは区別する。 Preserved EN explanation: Both angles are supplementary to the same adjacent angle, so they are equal. The vertically opposite angle is 35°; an adjacent one is 145°. Proposed EN explanation: Vertical angles lie opposite each other where two lines cross; they do not share a side. Both angles are supplementary to the same adjacent angle, so they are equal. The vertically opposite angle is 35°; an adjacent one is 145°. ## ma-0187 Question: 頂角40°の二等辺三角形の底角は？ - a: 80° - b: 140° - c: 70° - d: 40° Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: 2B+40=180 B70(c). a80→200sum;b140 sum320;d40 sum120. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0187**（ma-isosceles、r1、条件から数値再計算あり）：底角は2つとも等しく、(180−40)/2＝70°。 Preserved JA explanation: 底角は2つとも等しく、(180−40)/2＝70°。 JA prefix: 二等辺三角形は二辺の長さが等しい三角形です。その二辺の間が頂角、残る二角が底角です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 二等辺三角形は二辺の長さが等しい三角形です。その二辺の間が頂角、残る二角が底角です。底角は2つとも等しく、(180−40)/2＝70°。 ## ma-0189 Question: 相似な三角形の相似比が2：5。小さい方の辺6 cmに対応する辺は？ - a: 15 cm - b: 12 cm - c: 10 cm - d: 2.4 cm Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: ratio smalllarge2:5;6/large=2/5=>large15(a). b12 gives1:2;c10 gives3:5;d2.4 reverse2/5and smallerthansmall. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0189**（ma-similar-length、r1、条件から数値再計算あり）：対応する辺はすべて5/2倍。6×5/2＝15。 Preserved JA explanation: 対応する辺はすべて5/2倍。6×5/2＝15。 JA prefix: 相似は、対応する角が等しく、対応する辺が同じ倍率で拡大・縮小された関係です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 相似は、対応する角が等しく、対応する辺が同じ倍率で拡大・縮小された関係です。対応する辺はすべて5/2倍。6×5/2＝15。 ## ma-0193 Question: 直角三角形の直角をはさむ辺が5 cm、12 cm。斜辺は？ - a: 13 cm - b: 17 cm - c: 7 cm - d: √17 cm Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: hyp²25+144=169=>13(a). b17 square289;c7 square49 less12;d√17 squared17 not169. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0193**（ma-pythagoras、r1、条件から数値再計算あり）：斜辺の二乗は5²＋12²＝169。 Preserved JA explanation: 斜辺の二乗は5²＋12²＝169。 JA prefix: 斜辺は、直角の向かいにある、直角三角形で最も長い辺です。 JA suffix: 長さは正なので√169＝13 cmです。 Proposed JA explanation: 斜辺は、直角の向かいにある、直角三角形で最も長い辺です。斜辺の二乗は5²＋12²＝169。長さは正なので√169＝13 cmです。 Preserved EN explanation: By the Pythagorean theorem, its squared length is 5² + 12² = 169. The positive length is √169 = 13 cm. Proposed EN explanation: The hypotenuse lies opposite the right angle and is the longest side of a right triangle. By the Pythagorean theorem, its squared length is 5² + 12² = 169. The positive length is √169 = 13 cm. ## ma-0198 Question: 半径6 cm、中心角60°の扇形の面積は？ - a: 3π cm² - b: 6π cm² - c: 12π cm² - d: 36π cm² Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: π6²*(60/360)=6π(b). a3πhalfcorrect;c12πtwicecorrect;d36π fullcircle. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0198**（ma-sector-area、r1、条件から数値再計算あり）：円全体36πの60/360＝1/6を取る。 Preserved JA explanation: 円全体36πの60/360＝1/6を取る。 JA prefix: 扇形は、円の二本の半径とその間の弧で囲まれた部分です。中心角で円全体の何割かを決めます。 JA suffix: したがって36π÷6＝6π cm²です。 Proposed JA explanation: 扇形は、円の二本の半径とその間の弧で囲まれた部分です。中心角で円全体の何割かを決めます。円全体36πの60/360＝1/6を取る。したがって36π÷6＝6π cm²です。 ## ma-0200 Question: 半径2 cmの球の表面積は？ - a: 8π cm² - b: 4π cm² - c: 32π/3 cm² - d: 16π cm² Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: surface4π4=16π(d). a8π=4πr missesrsquare;b4π=πr² crosssection;c32π/3 volume4π8/3 wrongquantityandunit. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0200**（ma-sphere-area、r1、条件から数値再計算あり）：球の表面積は4πr²。体積4πr³/3とは異なる。 Preserved JA explanation: 球の表面積は4πr²。体積4πr³/3とは異なる。 JA prefix: 球の表面積は外側を覆う広さで、内部の空間の大きさである体積とは別の量です。 JA suffix: 4π×2²＝16π cm²です。 Proposed JA explanation: 球の表面積は外側を覆う広さで、内部の空間の大きさである体積とは別の量です。球の表面積は4πr²。体積4πr³/3とは異なる。4π×2²＝16π cm²です。 Preserved EN explanation: For a sphere, surface area is 4πr². With r = 2, this gives 4π × 4 = 16π cm². The expression 4πr³/3 measures volume instead. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0202 Question: 線分ABでA(−2,4)、B(6,0)。中点は？ - a: (−4,2) - b: (2,2) - c: (4,4) - d: (2,4) Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: A(-2,4) B(6,0),M(2,2);M-A=(4,-2)=B-M. a(-4,2)wrongx;c(4,4)sumcoordinateswithoutdivide;d(2,4)yunchangedA. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0202**（ma-midpoint-coordinate、r1、式・定義による説明）：各座標の平均を取る。 Preserved JA explanation: 各座標の平均を取る。 JA prefix: 中点は線分を等しい二つの長さに分ける点です。 JA suffix: 横は（−2＋6）÷2＝2、縦は（4＋0）÷2＝2なので（2、2）です。 Proposed JA explanation: 中点は線分を等しい二つの長さに分ける点です。各座標の平均を取る。横は（−2＋6）÷2＝2、縦は（4＋0）÷2＝2なので（2、2）です。 Preserved EN explanation: Average each coordinate: ((−2 + 6)/2, (4 + 0)/2) = (2, 2). EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0211 Question: ベクトル(2,−1)＋(−3,4)は？ - a: (−6,−4) - b: (−1,−5) - c: (−1,3) - d: (5,3) Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: componentaddition(-1,3)(c). a(-6,-4) multipliescomponents;b(-1,-5) ysubtracts;d(5,3) treats-3as+3. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0211**（ma-vector-add、r1、式・定義による説明）：横と縦の成分をそれぞれ足す。 Preserved JA explanation: 横と縦の成分をそれぞれ足す。 JA prefix: ベクトルの成分は、各方向にどれだけ進むかを表す数です。 JA suffix: 横は2−3＝−1、縦は−1＋4＝3で、答えは（−1、3）です。 Proposed JA explanation: ベクトルの成分は、各方向にどれだけ進むかを表す数です。横と縦の成分をそれぞれ足す。横は2−3＝−1、縦は−1＋4＝3で、答えは（−1、3）です。 Preserved EN explanation: Add corresponding components: (2 − 3, −1 + 4) = (−1, 3). EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0212 Question: ベクトル(1,2,2)の長さは？ - a: 5 - b: 9 - c: √5 - d: 3 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: sqrt(1+4+4)=3(d);a5 sumcoordinates;b9 squaredlength;c√5 omitsone2². Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0212**（ma-vector-norm、r1、条件から数値再計算あり）：三次元でもノルムは成分の二乗和の平方根。 Preserved JA explanation: 三次元でもノルムは成分の二乗和の平方根。 JA prefix: ノルムとは、ここではベクトルの長さのことです。 JA suffix: √（1²＋2²＋2²）＝√9＝3です。 Proposed JA explanation: ノルムとは、ここではベクトルの長さのことです。三次元でもノルムは成分の二乗和の平方根。√（1²＋2²＋2²）＝√9＝3です。 Preserved EN explanation: The squared length is 1² + 2² + 2² = 9. Taking the nonnegative square root gives 3. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0215 Question: ベクトル(3,4)をx軸へ正射影したベクトルは？ - a: (3,4) - b: (5,0) - c: (3,0) - d: (0,4) Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: (3,4) footxaxis(3,0)(c);a originalnotonaxis;b(5,0) wronglykeepsnorm5insteadxcomponent3;d yaxisprojection. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0215**（ma-projection、r1、式・定義による説明）：x軸方向の成分だけ残し、垂直なy成分を0にする。 Preserved JA explanation: x軸方向の成分だけ残し、垂直なy成分を0にする。 JA prefix: 正射影では、元の点から軸へ垂直に下ろした先までのベクトルを考えます。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 正射影では、元の点から軸へ垂直に下ろした先までのベクトルを考えます。x軸方向の成分だけ残し、垂直なy成分を0にする。 Preserved EN explanation: Projection keeps the horizontal component and removes the perpendicular vertical component, giving (3, 0). EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0218 Question: 楕円x²/9＋y²/4＝1の長軸の長さは？ - a: 4 - b: 6 - c: 3 - d: 9 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: xextremes±3,yextremes±2;major6(b). a4minor;c3semi-major;d9 squareofsemimajor. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0218**（ma-ellipse、r1、条件から数値再計算あり）：大きい分母9の平方根3が半長軸。長軸全体は2倍。 Preserved JA explanation: 大きい分母9の平方根3が半長軸。長軸全体は2倍。 JA prefix: 長軸は楕円の中心を通る最も長い線分で、半長軸は中心からその端までの長さです。 JA suffix: 長軸は−3から3までの6です。 Proposed JA explanation: 長軸は楕円の中心を通る最も長い線分で、半長軸は中心からその端までの長さです。大きい分母9の平方根3が半長軸。長軸全体は2倍。長軸は−3から3までの6です。 Preserved EN explanation: The larger denominator is 9, giving semimajor axis √9 = 3 along the x-axis. The full major axis is twice this, or 6. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0221 Question: 2行3列の行列と3行4列の行列の積の大きさは？ - a: 2行4列 - b: 3行3列 - c: 2行3列 - d: 4行2列 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: A2x3 B3x4 Cij=sumk1..3AikBkj;2rowi,4colj=>2x4(a). b3x3 sharedinnerdimsnotoutput;c2x3 retainsleftdims;d4x2 reverses. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0221**（ma-matrix-size、r1、式・定義による説明）：内側の3が一致するので積を作れ、外側の2と4が結果の大きさ。 Preserved JA explanation: 内側の3が一致するので積を作れ、外側の2と4が結果の大きさ。 JA prefix: 行は横の並び、列は縦の並びです。積では左の行と右の列の対応する数を掛けて足します。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 行は横の並び、列は縦の並びです。積では左の行と右の列の対応する数を掛けて足します。内側の3が一致するので積を作れ、外側の2と4が結果の大きさ。 Preserved EN explanation: The inner dimensions both equal 3, so multiplication is defined. Each of the two rows is paired with each of the four columns, producing a 2-by-4 matrix. Proposed EN explanation: Rows run horizontally and columns vertically. Each product entry combines a row of the left matrix with a column of the right. The inner dimensions both equal 3, so multiplication is defined. Each of the two rows is paired with each of the four columns, producing a 2-by-4 matrix. ## ma-0223 Question: 行が(2,1),(3,4)の2×2行列の行列式は？ - a: 8 - b: −5 - c: 5 - d: 11 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: det2x4-1x3=5(c);a8onlyfirstproduct;b-5 subtractreverse;d11 addsproducts. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0223**（ma-determinant、r1、条件から数値再計算あり）：ad−bc＝2×4−1×3。対角の積を引く。 Preserved JA explanation: ad−bc＝2×4−1×3。対角の積を引く。 JA prefix: 行列式は正方形の行列から求める一つの数で、行列そのものとは違います。 JA suffix: 8−3＝5です。 Proposed JA explanation: 行列式は正方形の行列から求める一つの数で、行列そのものとは違います。ad−bc＝2×4−1×3。対角の積を引く。8−3＝5です。 Preserved EN explanation: The 2-by-2 determinant is ad − bc: 2 × 4 − 1 × 3 = 5. Proposed EN explanation: A determinant is a single number associated with a square matrix, rather than another matrix. The 2-by-2 determinant is ad − bc: 2 × 4 − 1 × 3 = 5. ## ma-0226 Question: 行が(1,0,2),(0,1,3)の行列の階数は？ - a: 3 - b: 2 - c: 1 - d: 0 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: columns(1,0),(0,1) independent;third(2,3)=2col1+3col2,rank2(b). a3 >rows2;c1 contradictedfirsttwo independent;d0 requireszeromatrix. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0226**（ma-rank、r1、式・定義による説明）：先頭2列が独立で、行数2を超える階数にはならない。 Preserved JA explanation: 先頭2列が独立で、行数2を超える階数にはならない。 JA prefix: 階数は、互いに独立な行（または列）を最大何本選べるかを表します。独立とは、選んだ一本を残りの定数倍の和で作れないことです。 JA suffix: ここでは二本なので階数は2です。 Proposed JA explanation: 階数は、互いに独立な行（または列）を最大何本選べるかを表します。独立とは、選んだ一本を残りの定数倍の和で作れないことです。先頭2列が独立で、行数2を超える階数にはならない。ここでは二本なので階数は2です。 Preserved EN explanation: The rows are linearly independent: the first two coordinates force both coefficients of a zero linear combination to be zero. There are two independent rows, so the rank is 2. Proposed EN explanation: Rank counts the largest number of linearly independent rows or columns that can be selected. Within that selected group, no vector can be made by a linear combination of the others. The rows are linearly independent: the first two coordinates force both coefficients of a zero linear combination to be zero. There are two independent rows, so the rank is 2. ## ma-0230 Question: R³の基底に含まれるベクトル数は？ - a: 任意の個数 - b: 3個 - c: 2個 - d: 4個 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: e1,e2,e3:ae1+be2+ce3=(a,b,c),unique coefficients. R³dim3 =>basis3(b). 2cannotspanrank<=2;4dependent rank<=3;arbitrarywrongfixed3. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0230**（ma-basis、r1、式・定義による説明）：基底は空間を張る線形独立な集合。要素数は空間の次元。 Preserved JA explanation: 基底は空間を張る線形独立な集合。要素数は空間の次元。 JA prefix: 基底を使うと、その空間のどのベクトルも、基底の定数倍を足した形でただ一通りに表せます。 JA suffix: R³では例えば（1、0、0）、（0、1、0）、（0、0、1）の三つで、（a、b、c）を表せます。 Proposed JA explanation: 基底を使うと、その空間のどのベクトルも、基底の定数倍を足した形でただ一通りに表せます。基底は空間を張る線形独立な集合。要素数は空間の次元。R³では例えば（1、0、0）、（0、1、0）、（0、0、1）の三つで、（a、b、c）を表せます。 Preserved EN explanation: A basis is both linearly independent and spans the space. R³ has three independent coordinate directions, so every basis has three vectors. Proposed EN explanation: A basis expresses every vector in the space uniquely as a linear combination of its members. A basis is both linearly independent and spans the space. R³ has three independent coordinate directions, so every basis has three vectors. ## ma-0232 Question: 行が(2,0),(0,5)の行列の固有値は？ - a: 0と7 - b: 10だけ - c: −2と−5 - d: 2と5 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: A(x,y)=(2x,5y);λ=2 withe1,λ5withe2. characteristic(2-λ)(5-λ)=0=>d2,5; a0,7 neitherroot;b10detnotλ;cnegativesnotroots. Negative eigenvalue may reverse direction;wordinguses scalar multiple toavoidfalseunchanged-direction. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0232**（ma-eigenvalue、r1、式・定義による説明）：各座標軸方向のベクトルはそれぞれ2倍、5倍される。 Preserved JA explanation: 各座標軸方向のベクトルはそれぞれ2倍、5倍される。 JA prefix: 固有値は、零でないベクトルが変換後に元のベクトルの定数倍になるとき、その倍率を表す数です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 固有値は、零でないベクトルが変換後に元のベクトルの定数倍になるとき、その倍率を表す数です。各座標軸方向のベクトルはそれぞれ2倍、5倍される。 Preserved EN explanation: The coordinate directions are multiplied by 2 and 5 respectively. Equivalently, det(A − λI) = (2 − λ)(5 − λ), whose zeros are 2 and 5. Proposed EN explanation: An eigenvalue is the scalar multiplier when a nonzero vector is transformed into a scalar multiple of itself. The coordinate directions are multiplied by 2 and 5 respectively. Equivalently, det(A − λI) = (2 − λ)(5 − λ), whose zeros are 2 and 5. ## ma-0248 Question: データ2、4、6、12の中央値は？ - a: 4 - b: 6 - c: 6.5 - d: 5 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: ordered2,4,6,12 central4,6=>5(d). a4onlylower;b6onlyupper alsoarithmeticmean;c6.5 averagingincorrectvalues? notcentralpair. Mean24/4=6. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0248**（ma-median-even、r1、条件から数値再計算あり）：個数が偶数なら中央の2値4と6の平均を取る。 Preserved JA explanation: 個数が偶数なら中央の2値4と6の平均を取る。 JA prefix: 中央値は、値を小さい順に並べたときの中央を表す値です。 JA suffix: 4と6の間の5が中央値です。 Proposed JA explanation: 中央値は、値を小さい順に並べたときの中央を表す値です。個数が偶数なら中央の2値4と6の平均を取る。4と6の間の5が中央値です。 ## ma-0252 Question: データ1、2、3に100を追加した。平均値はどうなる？ - a: 2のまま - b: 3になる - c: 中央値と必ず同じ - d: 2から26.5へ上がる Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: originalmean(1+2+3)/3=2;after106/4=26.5(d). median2.5; a2unchangedfalse;b3false;cnotalwayssame actualdifferent. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0252**（ma-outlier-mean、r1、式・定義による説明）：合計106を4で割る。平均は極端に大きな値の影響を受ける。 Preserved JA explanation: 合計106を4で割る。平均は極端に大きな値の影響を受ける。 JA prefix: 平均は合計を均等に分けた値で、中央値は並べた位置の中央です。 JA suffix: 追加後の中央値は（2＋3）÷2＝2.5で、平均26.5とは異なります。 Proposed JA explanation: 平均は合計を均等に分けた値で、中央値は並べた位置の中央です。合計106を4で割る。平均は極端に大きな値の影響を受ける。追加後の中央値は（2＋3）÷2＝2.5で、平均26.5とは異なります。 Preserved EN explanation: The original mean is 6/3 = 2. After adding 100, the mean is 106/4 = 26.5. A very large observation can strongly affect the mean. Proposed EN explanation: The mean redistributes the total equally, whereas the median uses the middle position in the ordered data. The original mean is 6/3 = 2. After adding 100, the mean is 106/4 = 26.5. A very large observation can strongly affect the mean. ## ma-0257 Question: 身長のデータをcmからmへ変えた。平均の数値は？ - a: 100分の1 - b: 100倍 - c: 同じ - d: 10000分の1 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: inventedlengthdata100,200cm =>mean150cm=1.5m;generally sum(xi/100)/n=(sumxi/n)/100(a). b100times opposite;c unchangednumericfalse;d10000factorarea notlength. Example fictitious, not measuredpopulation. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0257**（ma-data-unit、r1、式・定義による説明）：すべての値を100で割るので平均も100で割られる。 Preserved JA explanation: すべての値を100で割るので平均も100で割られる。 JA prefix: 単位を変えるのは同じ長さの数え方を変えることで、身長そのものが縮むわけではありません。 JA suffix: 例えば100 cmと200 cmの平均150 cmは、1 mと2 mの平均1.5 mと同じ長さです。 Proposed JA explanation: 単位を変えるのは同じ長さの数え方を変えることで、身長そのものが縮むわけではありません。すべての値を100で割るので平均も100で割られる。例えば100 cmと200 cmの平均150 cmは、1 mと2 mの平均1.5 mと同じ長さです。 ## ma-0269 Question: 100回の試行中、成功が37回。相対度数は？ - a: 0.37 - b: 37 - c: 0.63 - d: 1/37 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: 37/100=.37(a);b37 absolutecount;c.63 failurefraction;d1/37 unrelatedinversecount. Underlyingtheoreticalp not inferredexactly. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0269**（ma-relative-frequency、r1、条件から数値再計算あり）：成功数を全試行数で割る。理論確率と観測割合は区別する。 Preserved JA explanation: 成功数を全試行数で割る。理論確率と観測割合は区別する。 JA prefix: 度数は起きた回数、相対度数は全試行のうち占めた割合です。 JA suffix: 37÷100＝0.37で、成功37回という個数とは区別します。 Proposed JA explanation: 度数は起きた回数、相対度数は全試行のうち占めた割合です。成功数を全試行数で割る。理論確率と観測割合は区別する。37÷100＝0.37で、成功37回という個数とは区別します。 Preserved EN explanation: Relative frequency is the observed count divided by all trials: 37/100 = 0.37. This observed proportion is different from an exactly known theoretical probability. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0275 Question: 母集団1000人から無作為に100人を選ぶ。標本の大きさは？ - a: 900 - b: 10 - c: 100 - d: 1000 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: populationN1000 sample n100(c). a900 nonselected;b10 samplepercentage notsize;d1000 populationsize. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0275**（ma-random-sample-size、r1、式・定義による説明）：標本の大きさは実際に調べる観測対象の数。 Preserved JA explanation: 標本の大きさは実際に調べる観測対象の数。 JA prefix: 母集団は調べたい対象全体、標本はその中から実際に選び出した対象です。 JA suffix: 全体1000人のうち選んだ100人が標本なので、その大きさは100です。 Proposed JA explanation: 母集団は調べたい対象全体、標本はその中から実際に選び出した対象です。標本の大きさは実際に調べる観測対象の数。全体1000人のうち選んだ100人が標本なので、その大きさは100です。 ## ma-0276 Question: ヒストグラムが主に表すのは？ - a: 時系列の増減だけ - b: 分類名の文字数 - c: 2変数の対応点 - d: 数量を階級に分けた度数分布 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: hist numericalintervalfrequency(d);a linegraph timeonly too restrictive;b labelcharacter countsnotnumericaldistribution;cscatterpairs otherplot. Do notgeneralize heightsfrequency acrossunequalwidthbins; ifdensityheight, arearepresentsfrequency. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0276**（ma-histogram-vs-bar、r1、式・定義による説明）：連続量などを区間に分けて分布を示す。棒の隣接に区間の意味がある。 Preserved JA explanation: 連続量などを区間に分けて分布を示す。棒の隣接に区間の意味がある。 JA prefix: 階級は「10以上20未満」のような数値の区間、度数はその区間に入るデータの個数です。分類名ごとの棒グラフとは区別します。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 階級は「10以上20未満」のような数値の区間、度数はその区間に入るデータの個数です。分類名ごとの棒グラフとは区別します。連続量などを区間に分けて分布を示す。棒の隣接に区間の意味がある。 Preserved EN explanation: A histogram groups numerical observations into intervals and displays their frequency distribution. Adjacent bars correspond to adjacent numerical intervals. Proposed EN explanation: A class interval is a numerical range such as 10 up to, but not including, 20. Its frequency counts the observations in that range, unlike category labels in a bar chart. A histogram groups numerical observations into intervals and displays their frequency distribution. Adjacent bars correspond to adjacent numerical intervals. ## ma-0287 Question: Xが0を確率1/4、4を確率3/4で取る。E[X]は？ - a: 4 - b: 1 - c: 3 - d: 2 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: 0*.25+4*.75=3(c). a4largestoutcome;b1wrongweightof4;c3expectednotpossibleoutcome;d2unweightedaverage. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0287**（ma-expected-value、r1、条件から数値再計算あり）：各値を確率で重み付けして足す。0/4＋12/4。 Preserved JA explanation: 各値を確率で重み付けして足す。0/4＋12/4。 JA prefix: 期待値は確率で重みを付けた平均で、一回の試行で必ず出る値ではありません。 JA suffix: 計算は3ですが、この問題の一回の結果は0か4です。 Proposed JA explanation: 期待値は確率で重みを付けた平均で、一回の試行で必ず出る値ではありません。各値を確率で重み付けして足す。0/4＋12/4。計算は3ですが、この問題の一回の結果は0か4です。 Preserved EN explanation: Weight each value by its probability and add: 0 × 1/4 + 4 × 3/4 = 3. Proposed EN explanation: An expected value is a probability-weighted average; it need not be an outcome of a single trial. Weight each value by its probability and add: 0 × 1/4 + 4 × 3/4 = 3. ## ma-0295 Question: 正規分布N(μ,σ²)、σ＞0でP(X≦μ)は？ - a: 1 - b: σ - c: 1/2 - d: 0 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: symmetric continuousnormal aboutµ;Pleft=Pright,point0=>each.5(c). a1missesrighthalf;bσspreadnotsuchprobabilitycan>1;d0false. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0295**（ma-normal-symmetry、r1、式・定義による説明）：平均を中心に対称で、連続分布なので点μの確率は0。 Preserved JA explanation: 平均を中心に対称で、連続分布なので点μの確率は0。 JA prefix: μは平均、σは標準偏差を表し、σ²が分散です。 JA suffix: 全確率1が平均μの左右へ1/2ずつ分かれ、点μの確率は0なので、P(X≦μ)＝1/2です。 Proposed JA explanation: μは平均、σは標準偏差を表し、σ²が分散です。平均を中心に対称で、連続分布なので点μの確率は0。全確率1が平均μの左右へ1/2ずつ分かれ、点μの確率は0なので、P(X≦μ)＝1/2です。 Preserved EN explanation: The continuous normal distribution is symmetric about μ. Half the probability lies on each side, and the single point μ has probability zero, so P(X ≤ μ) = 1/2. Proposed EN explanation: Here μ is the mean, σ is the standard deviation and σ² is the variance. The continuous normal distribution is symmetric about μ. Half the probability lies on each side, and the single point μ has probability zero, so P(X ≤ μ) = 1/2. ## ma-0296 Question: 平均50、標準偏差10で観測値70の標準得点zは？ - a: 7 - b: 20 - c: 0.2 - d: 2 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: z=(70-50)/10=2(d). a7 omitsmean;b20 differencewithoutscale;c.2wrongscale. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0296**（ma-z-score、r1、条件から数値再計算あり）：平均との差20を標準偏差10で割る。 Preserved JA explanation: 平均との差20を標準偏差10で割る。 JA prefix: 標準得点は、平均から標準偏差何個分だけ離れたかを表します。 JA suffix: z＝2なので、平均より標準偏差二個分上です。 Proposed JA explanation: 標準得点は、平均から標準偏差何個分だけ離れたかを表します。平均との差20を標準偏差10で割る。z＝2なので、平均より標準偏差二個分上です。 Preserved EN explanation: Subtract the mean and divide by the standard deviation: z = (70 − 50)/10 = 2. Proposed EN explanation: A z-score measures how many standard deviations an observation lies from the mean. Subtract the mean and divide by the standard deviation: z = (70 − 50)/10 = 2. ## ma-0297 Question: 第1四分位数が12、第3四分位数が20。四分位範囲は？ - a: 8 - b: 16 - c: 32 - d: 12 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: Q3-Q1=20-12=8(a). b16 midpoint;c32 sum;d12Q1. Fullrange cannotknownfromtwoquartiles. Givenquartilesavoidalgorithm convention assumptions. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0297**（ma-quartile-iqr、r1、条件から数値再計算あり）：中央50％の広がりはQ3−Q1。四分位数の算出法が違っても与えられた値の差は同じ。 Preserved JA explanation: 中央50％の広がりはQ3−Q1。四分位数の算出法が違っても与えられた値の差は同じ。 JA prefix: 四分位範囲は、データ全体の最大値と最小値の差である「範囲」とは別です。 JA suffix: 今回は20−12＝8です。 Proposed JA explanation: 四分位範囲は、データ全体の最大値と最小値の差である「範囲」とは別です。中央50％の広がりはQ3−Q1。四分位数の算出法が違っても与えられた値の差は同じ。今回は20−12＝8です。 Preserved EN explanation: The interquartile range is Q3 − Q1 = 20 − 12 = 8. It describes the span between these two quartiles. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0298 Question: 箱ひげ図から一般に正確には分からないものは？ - a: 第3四分位数 - b: 平均値 - c: 中央値 - d: 第1四分位数 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: standardbox endpointsQ1Q3,line median;mean notrecoverable (b). a,c,d shownsummaries. Extensionscanmarkmean; qualifierpreservesconditionalgeneralclaim; constructingdatasets withsamefive-summary butdiffinner values changesmean. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0298**（ma-boxplot-limits、r1、式・定義による説明）：標準的な箱ひげ図は中央値と四分位数を示すが、平均は表示されない。 Preserved JA explanation: 標準的な箱ひげ図は中央値と四分位数を示すが、平均は表示されない。 JA prefix: 通常の箱ひげ図では、箱の両端が第1・第3四分位数、箱の中の線が中央値を表します。 JA suffix: 平均を印で追加した図なら別なので、図の凡例も確認します。 Proposed JA explanation: 通常の箱ひげ図では、箱の両端が第1・第3四分位数、箱の中の線が中央値を表します。標準的な箱ひげ図は中央値と四分位数を示すが、平均は表示されない。平均を印で追加した図なら別なので、図の凡例も確認します。 Preserved EN explanation: A standard box plot displays the median and quartiles, but does not give the arithmetic mean. The quartiles alone do not determine that mean. Proposed EN explanation: In a usual box plot, the box spans the first to third quartile and the line inside marks the median. Check the legend if a plot adds a separate mark for the mean. A standard box plot displays the median and quartiles, but does not give the arithmetic mean. The quartiles alone do not determine that mean. ## ma-0302 Question: Xが区間[0,4]の一様分布。P(1≦X≦3)は？ - a: 1 - b: 1/2 - c: 1/4 - d: 3/4 Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: density1/4, interval3-1=2=>.5(b). a1whole4;c.25width1;d.75width3. Continuousspecificpoints0 soendpointinclusionirrelevant. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0302**（ma-uniform-probability、r1、条件から数値再計算あり）：密度1/4に区間幅2を掛ける。 Preserved JA explanation: 密度1/4に区間幅2を掛ける。 JA prefix: 区間の一様分布では、その区間内の同じ幅の範囲に同じ確率を割り当てます。 JA suffix: 全体の幅4のうち幅2なので、確率は1/2です。 Proposed JA explanation: 区間の一様分布では、その区間内の同じ幅の範囲に同じ確率を割り当てます。密度1/4に区間幅2を掛ける。全体の幅4のうち幅2なので、確率は1/2です。 Preserved EN explanation: The density is 1/4. The requested interval has length 2, so its probability is 2 × 1/4 = 1/2. Proposed EN explanation: A uniform distribution assigns equal probabilities to equal-length intervals within its support. The density is 1/4. The requested interval has length 2, so its probability is 2 × 1/4 = 1/2. ## ma-0304 Question: 累積分布関数の性質は？ - a: 必ず単調減少 - b: 常に微分可能 - c: 常に直線 - d: 単調非減少 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: x1d. a reverses;bdisplacementwrong4;cpathwrong2. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0352**（ma-distance-displacement、r1、式・定義による説明）：道のりは移動量の和、変位は符号付きの差。 Preserved JA explanation: 道のりは移動量の和、変位は符号付きの差。 JA prefix: 道のりは通った経路の長さ、変位は出発点から到着点への位置の変化です。 JA suffix: 東を正とすると、道のりは3＋1＝4 km、変位は3−1＝2 kmです。 Proposed JA explanation: 道のりは通った経路の長さ、変位は出発点から到着点への位置の変化です。道のりは移動量の和、変位は符号付きの差。東を正とすると、道のりは3＋1＝4 km、変位は3−1＝2 kmです。 Preserved EN explanation: Distance adds both travelled lengths: 3 + 1 = 4 km. Eastward displacement uses signed motion: 3 − 1 = 2 km. Proposed EN explanation: Distance counts the length of the path travelled; displacement records the change from the starting position to the ending position. Distance adds both travelled lengths: 3 + 1 = 4 km. Eastward displacement uses signed motion: 3 − 1 = 2 km. ## ma-0353 Question: 密度が2 g/cm³、体積が5 cm³の物体の質量は？ - a: 10 g - b: 2.5 g - c: 0.4 g - d: 7 g Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: ρ2g/cm³*V5cm³=m10g(a). b5/2=2.5wrongformula;c2/5=.4wrongformula;d2+5=7incompatibleunits. Usegivenaverageoruniformdensity, notclaimrealmaterial measurement. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0353**（ma-unit-consistency、r1、条件から数値再計算あり）：密度×体積でcm³が打ち消され、単位gが残る。 Preserved JA explanation: 密度×体積でcm³が打ち消され、単位gが残る。 JA prefix: 密度は一体積あたりの質量です。2 g/cm³なら、ここでは1 cm³あたり2 gという意味です。 JA suffix: 2×5＝10 gです。 Proposed JA explanation: 密度は一体積あたりの質量です。2 g/cm³なら、ここでは1 cm³あたり2 gという意味です。密度×体積でcm³が打ち消され、単位gが残る。2×5＝10 gです。 Preserved EN explanation: Mass equals density times volume: 2 × 5 = 10 g. The cm³ units cancel, leaving grams. Proposed EN explanation: Density is mass per unit volume. Here 2 g/cm³ means two grams for each cubic centimetre. Mass equals density times volume: 2 × 5 = 10 g. The cm³ units cancel, leaving grams. ## ma-0358 Question: 長方形の周が20 cmとだけ分かる。面積は？ - a: 必ず100 cm² - b: 一意には決まらない - c: 必ず25 cm² - d: 必ず20 cm² Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: 2(a+b)=20=>a+b10; (1,9)area9;(5,5)area25⇒bnotunique. a100 falsee.g9;c25 falsee.g9;d20 falsee.g9. Positivea,b only. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0358**（ma-necessary-info、r1、式・定義による説明）：辺1と9なら9 cm²、5と5なら25 cm²。同じ周でも面積は異なる。 Preserved JA explanation: 辺1と9なら9 cm²、5と5なら25 cm²。同じ周でも面積は異なる。 JA prefix: 周の長さは境界に沿った長さ、面積は中を覆う広さなので、別の情報です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 周の長さは境界に沿った長さ、面積は中を覆う広さなので、別の情報です。辺1と9なら9 cm²、5と5なら25 cm²。同じ周でも面積は異なる。 Preserved EN explanation: Its side lengths sum to 10 cm, but their product is not fixed. Sides 1 and 9 give area 9 cm², while sides 5 and 5 give 25 cm². Both have perimeter 20 cm. Proposed EN explanation: Perimeter measures the boundary length, while area measures the region covered inside it. Its side lengths sum to 10 cm, but their product is not fixed. Sides 1 and 9 give area 9 cm², while sides 5 and 5 give 25 cm². Both have perimeter 20 cm. ## ma-0371 Question: 空集合について正しいのは？ - a: 要素0を含む - b: 要素数1 - c: すべての集合の部分集合 - d: どの集合の部分集合でもない Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: emptycard0 vs{0}card1;subsetdefinition eachmember belongsA truevacuously(c). a0notmember;bcardnot1;d contradictedsubsetempty⊂any incl empty. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0371**（ma-empty-subset、r1、式・定義による説明）：「空集合のすべての要素がAに属する」は反例がないため成立する。 Preserved JA explanation: 「空集合のすべての要素がAに属する」は反例がないため成立する。 JA prefix: 空集合は要素が一つもない集合です。「0という要素を一つ持つ集合」{0}とは違います。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 空集合は要素が一つもない集合です。「0という要素を一つ持つ集合」{0}とは違います。「空集合のすべての要素がAに属する」は反例がないため成立する。 Preserved EN explanation: A set is a subset of A if all its elements belong to A. The empty set has no element that could violate this condition, so it is a subset of every set. Proposed EN explanation: The empty set contains no elements; it differs from {0}, which contains the single element zero. A set is a subset of A if all its elements belong to A. The empty set has no element that could violate this condition, so it is a subset of every set. ## ma-0381 Question: 無向有限グラフ（自己ループなし）で、頂点の次数の総和は？ - a: 辺の本数の2倍 - b: 辺の本数 - c: 頂点の数 - d: 常に0 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: edge has2distinct endpoints⇒sumdegrees2E(a). bE onlyonce;cV counteroneedge V2sum2butpathV3 E2sum4;d0 falseoneedge. EmptygraphE0 maycoincideotheroptionsbutuniversalidentityonlya. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0381**（ma-graph-handshake、r1、式・定義による説明）：各辺は両端で1回ずつ数えられるので2回寄与する。 Preserved JA explanation: 各辺は両端で1回ずつ数えられるので2回寄与する。 JA prefix: 次数は、ある頂点につながる辺の本数です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 次数は、ある頂点につながる辺の本数です。各辺は両端で1回ずつ数えられるので2回寄与する。 Preserved EN explanation: Each edge contributes one to the degree at each of its two endpoints. Summing degrees therefore counts every edge twice. Proposed EN explanation: The degree of a vertex counts its incident edges. Each edge contributes one to the degree at each of its two endpoints. Summing degrees therefore counts every edge twice. ## ma-0383 Question: 頂点数nの有限な木の辺数は？ - a: n＋1 - b: 2n - c: n−1 - d: n Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: finite connectedacyclic tree n>=1;single n1 E0; longestpathend degree1 whenn>=2;removing leaf leavesconnectedacyclic n-1 vertices E-1⇒inductn-1(c). a n+1,b2n,dn failn1 E0. Definitionleafdoesnotincludeonevertexdegree0;oldsplitcasespreserved. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0383**（ma-tree-edges、r1、式・定義による説明）：木は連結で閉路がない。葉を1つ除く帰納法で頂点と辺が1つずつ減る。 Preserved JA explanation: 一頂点だけの木は辺が0本で、n−1と一致します。二頂点以上の有限な木では、端の葉を一つ除くと頂点も辺も一つずつ減り、残りも木になります。残りがn−1頂点で辺n−2本なら、葉を戻して辺はn−1本です。連結かつ閉路がないことが、この減らし方を支えています。 JA prefix: 葉は、次数が1の頂点、つまり一本だけの辺につながる端の頂点です。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 葉は、次数が1の頂点、つまり一本だけの辺につながる端の頂点です。一頂点だけの木は辺が0本で、n−1と一致します。二頂点以上の有限な木では、端の葉を一つ除くと頂点も辺も一つずつ減り、残りも木になります。残りがn−1頂点で辺n−2本なら、葉を戻して辺はn−1本です。連結かつ閉路がないことが、この減らし方を支えています。 Preserved EN explanation: A one-vertex tree has zero edges. Removing a leaf from a larger tree removes one vertex and one edge while leaving a tree. Induction gives n − 1 edges. Proposed EN explanation: A leaf is a vertex of degree one: it is joined to the rest of the tree by exactly one edge. A one-vertex tree has zero edges. Removing a leaf from a larger tree removes one vertex and one edge while leaving a tree. Induction gives n − 1 edges. ## ma-0384 Question: 頂点5個の単純完全グラフの辺数は？ - a: 5 - b: 20 - c: 25 - d: 10 Preserved key: d. Author derivation and rejected-choice comparisons: 5choose2=5*4/2=10(d). a5onlycyclecount;b20 orderedpairdouble;c25 includesloops andorder. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0384**（ma-complete-graph、r1、条件から数値再計算あり）：異なる2頂点の組ごとに1辺。5C2＝10。 Preserved JA explanation: 異なる2頂点の組ごとに1辺。5C2＝10。 JA prefix: 単純グラフは自己ループや同じ二頂点を結ぶ重複した辺がなく、完全グラフは異なるどの二頂点も辺で結ばれたものです。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 単純グラフは自己ループや同じ二頂点を結ぶ重複した辺がなく、完全グラフは異なるどの二頂点も辺で結ばれたものです。異なる2頂点の組ごとに1辺。5C2＝10。 ## ma-0386 Question: 二部グラフについて必ず正しいのは？ - a: 三角形を必ず持つ - b: 奇数長の閉路を持たない - c: 辺が存在しない - d: 必ず木である Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: eachstep switchespart;returnrequires evensteps⇒nooddcycle(b). a triangle oddimpossible;c1edge bipartitecounter;d cycle4 bipartitenottree. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0386**（ma-bipartite、r1、式・定義による説明）：閉路は2つの部を交互に移る。元の部に戻る長さは偶数。 Preserved JA explanation: 閉路は2つの部を交互に移る。元の部に戻る長さは偶数。 JA prefix: 二部グラフは頂点を二組に分け、同じ組の頂点どうしを辺で結ばないグラフです。 JA suffix: 辺は必ず一方の組からもう一方へ渡ります。 Proposed JA explanation: 二部グラフは頂点を二組に分け、同じ組の頂点どうしを辺で結ばないグラフです。閉路は2つの部を交互に移る。元の部に戻る長さは偶数。辺は必ず一方の組からもう一方へ渡ります。 Preserved EN explanation: Each edge crosses between the two parts. A cycle must alternate parts and return to its starting part, so every cycle has even length. An odd-length cycle is impossible. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0387 Question: 連結な平面グラフで外側も面に数える。頂点V、辺E、面Fの関係は？ - a: V−E＋F＝0 - b: V＝E＝F - c: V−E＋F＝2 - d: V＋E＋F＝2 Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: spanningtree VverticesE=V-1 F1 =>V-E+F2; add remainingplaneedgewithinface splitsface E+1,F+1 preserving2(c). a0 wrong;btriangleV3E3F2 notallequal;dV+E+F triangle8not2. Assume connected finite standardplanegraph,bridge doesnot createfaceuntilcycleedge. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0387**（ma-planar-euler、r1、式・定義による説明）：オイラーの公式。木ではF＝1、E＝V−1で成立し、辺追加でも保たれる。 Preserved JA explanation: オイラーの公式。木ではF＝1、E＝V−1で成立し、辺追加でも保たれる。 JA prefix: 面は、平面上で交差せず描いた辺により分けられる領域で、外側の領域も一つと数えます。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 面は、平面上で交差せず描いた辺により分けられる領域で、外側の領域も一つと数えます。オイラーの公式。木ではF＝1、E＝V−1で成立し、辺追加でも保たれる。 Preserved EN explanation: A tree has E = V − 1 and F = 1, giving V − E + F = 2. Removing a cycle edge merges two faces and reduces both E and F by one, preserving this value until a tree remains. Proposed EN explanation: A face is a region of the plane separated by the drawn edges, with the unbounded outside region counted as one face too. A tree has E = V − 1 and F = 1, giving V − E + F = 2. Removing a cycle edge merges two faces and reduces both E and F by one, preserving this value until a tree remains. ## ma-0389 Question: 有限有向グラフでトポロジカル順序を持つ条件は？ - a: 有向閉路がない - b: すべての頂点次数が2 - c: 必ず連結 - d: 全辺の重みが1 Preserved key: a. Author derivation and rejected-choice comparisons: cyclev1→v2...→v1 wouldstrictordercyclecontradiction;finiteDAG indegree0 existselse followingpredecessors repeatsvertexcycle;removeiteratively⇒a. bcycleall2 violates;cdisconnectedisolatedvertices sortable;dweightedcycleweights1notsortable. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0389**（ma-dag-topological、r1、式・定義による説明）：閉路があると「前に置く」関係が一周して矛盾する。閉路なしなら入次数0から並べられる。 Preserved JA explanation: 閉路があると「前に置く」関係が一周して矛盾する。閉路なしなら入次数0から並べられる。 JA prefix: トポロジカル順序は、すべての有向辺で、出発側の頂点を到着側より前に置く並びです。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: トポロジカル順序は、すべての有向辺で、出発側の頂点を到着側より前に置く並びです。閉路があると「前に置く」関係が一周して矛盾する。閉路なしなら入次数0から並べられる。 Preserved EN explanation: A directed cycle would require each vertex to precede itself after following the cycle. Without directed cycles, there is a vertex with no incoming edge; remove it and repeat to construct an ordering. Proposed EN explanation: A topological order places the starting vertex of every directed edge before its ending vertex. A directed cycle would require each vertex to precede itself after following the cycle. Without directed cycles, there is a vertex with no incoming edge; remove it and repeat to construct an ordering. ## ma-0394 Question: 全射とは？ - a: 入力が必ず1つ - b: 値域が指定した終域の全体になる - c: 異なる入力の出力が必ず異なる - d: 逆関数が必ずある Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: onto=imageequalscodomain(b). a1input unnecessaryconstant{1,2}→{0} onto;c injectiondifferentproperty;d inverse requiresinjectivitytoo constantaboveonto no inverse. Examplefictionalmapsnotexternal. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0394**（ma-function-surjective、r1、式・定義による説明）：終域の各要素に少なくとも1つの原像が存在する。 Preserved JA explanation: 終域の各要素に少なくとも1つの原像が存在する。 JA prefix: 終域は出力先として指定した集合、値域は実際に出る値の集合です。原像は、その値へ移る入力を指します。 JA suffix: 全射では出力先に取り残しがなく、複数の入力が同じ出力へ移ってもかまいません。 Proposed JA explanation: 終域は出力先として指定した集合、値域は実際に出る値の集合です。原像は、その値へ移る入力を指します。終域の各要素に少なくとも1つの原像が存在する。全射では出力先に取り残しがなく、複数の入力が同じ出力へ移ってもかまいません。 Preserved EN explanation: Every element of the specified codomain is an output of at least one input. Two different inputs may still have the same output, so an inverse function is not guaranteed. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0398 Question: n²＋3n＋1のn→∞での増大の次数は？ - a: Θ(2ⁿ) - b: Θ(n²) - c: Θ(n) - d: Θ(1) Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: n>=1:3n<=3n²,1<=n² =>n²<=p<=5n²(b). p/n=n+3+1/n unbounded excludesc;punbounded excludesd; p/2^n→0 (sequence ratioapproaches1/2) excludesa. Positiveinputintegerorreal asymptoticpolynomial; exponentiallimitstandard deriveforintegerandcontinuousextension. Existing original derivation context (read verbatim): - **ma-0398**（ma-asymptotic、r1、式・定義による説明）：最大次数の項が支配する。定数倍と低次の項を除いても二次の大きさ。 Preserved JA explanation: 最大次数の項が支配する。定数倍と低次の項を除いても二次の大きさ。 JA prefix: Θ（シータ）は、十分大きな入力で、正の定数倍の上下限に挟まれる同じ増え方を表します。 JA suffix: n≧1ならn²≦n²＋3n＋1≦5n²なのでΘ(n²)です。 Proposed JA explanation: Θ（シータ）は、十分大きな入力で、正の定数倍の上下限に挟まれる同じ増え方を表します。最大次数の項が支配する。定数倍と低次の項を除いても二次の大きさ。n≧1ならn²≦n²＋3n＋1≦5n²なのでΘ(n²)です。 Preserved EN explanation: For n ≥ 1, n² ≤ n² + 3n + 1 ≤ 5n². These constant-factor bounds give Θ(n²); the lower-degree terms do not change the order. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0405 Question: 一辺1cmの正方形を、左の列に縦2枚、その右の列に1枚、さらに右の列に1枚と並べました。下側の辺をそろえ、重なりはありません。全体の面積は？ - a: 3cm² - b: 4cm² - c: 5cm² - d: 8cm² Preserved key: b. Author derivation and rejected-choice comparisons: 4tiles areas1+1+1+1=4cm²(b) overlapsnone. a3 missestopleft;c5countsblank boundingboxcell? actualbound3x2=6cells,5notshape;d8 not4. PerimeterLcells:4*4-2*3sharededges=10cm;notclaimed8. Preserved JA explanation: 一辺1cmの正方形1枚の面積は1cm²です。枚数は2＋1＋1＝4枚なので、面積は4cm²です。 JA prefix: 面積は図形が平面を覆う広さです。重ならずに並ぶ同じ大きさのマスなら、各マスの面積を足せます。 JA suffix: 外側の辺の長さを足す「周の長さ」とは別です。 Proposed JA explanation: 面積は図形が平面を覆う広さです。重ならずに並ぶ同じ大きさのマスなら、各マスの面積を足せます。一辺1cmの正方形1枚の面積は1cm²です。枚数は2＋1＋1＝4枚なので、面積は4cm²です。外側の辺の長さを足す「周の長さ」とは別です。 Preserved EN explanation: Each square has area 1 cm². There are 2 + 1 + 1 = 4 squares, so the total area is 4 cm². EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## ma-0416 Question: かばんの重さを量るとき、重さを表す単位として適切なのはどれですか？ - a: cm - b: L - c: kg - d: cm² Preserved key: c. Author derivation and rejected-choice comparisons: kg measuresmass(c),cm length(a),Lcapacity(b),cm²area(d). Originalelementarycolloquialweightassmass retained; no conversiongrams orforceadded. Unitdefinitionconceptualnot empirical. Preserved JA explanation: kgは重さ（質量）を表す単位です。cmは長さ、Lは容量、cm²は面積を表すので区別します。 JA prefix: 単位は、量を一定の大きさで数えるための基準です。数字が同じでも、長さ・重さ・広さなど量の種類が違えば比べ方も変わります。 JA suffix: (none) Proposed JA explanation: 単位は、量を一定の大きさで数えるための基準です。数字が同じでも、長さ・重さ・広さなど量の種類が違えば比べ方も変わります。kgは重さ（質量）を表す単位です。cmは長さ、Lは容量、cm²は面積を表すので区別します。 Preserved EN explanation: Use kg for mass. The other units describe different kinds of quantities: cm for length, L for capacity and cm² for area. This question uses everyday weight to mean mass rather than a force. EN body retained: its existing definition, calculation or stated conditions already address the corresponding concept adequately. ## Selected candidates retained without body edits - ma-0182: 同じ相対位置、平行条件が既に述べられ、用語補足を繰り返さない。 - ma-0185: 形と大きさ、相似との違いが既に述べられている。 - ma-0260: 表示上の高さ比と元データの差の違いが既に述べられている。 - ma-0289: 非負の平方根と元データの単位へ戻る意味が既に述べられている。 - ma-0342: 差と相対増加率が既に数値で区別されている。 - ma-0393: 単射の同値条件と全射との区別が既に述べられている。 ## Existing article additions: exact scope and invented examples ### ja:math-everyday, sectionIndex 1 Unchanged title: 余りや小数も、場面に戻す Added paragraph: 割り算で求めた答えを商、等しい組へ分けた後に残る個数を余りと呼びます。29＝6×4＋5なら商は4、余りは5です。商は箱の数、余りは品物の数なので、4と5をそのまま足して箱の数にしないよう、何を数える数かも添えます。 Author calculation/condition proof: 29=6*4+5, 0<=5<6. Four counts groups, five counts individual items, so units differ. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-everyday, sectionIndex 1 Unchanged title: Compare places, then interpret the remainder Added paragraph: The quotient is the number of complete groups in this division; the remainder counts the items left over. In 29 = 6 × 4 + 5, the quotient is 4 and the remainder is 5. Four counts boxes while five counts items, so adding them directly does not give a number of boxes. Author calculation/condition proof: 29=6*4+5, 0<=5<6. Four counts groups, five counts individual items, so units differ. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-geometry, sectionIndex 1 Unchanged title: 底辺に対応する高さを探す Added paragraph: 面積は平面を覆う広さで、1 cm²は一辺1 cmの正方形一枚分です。周の長さは外側の境界に沿って測る長さ、体積は立体が占める空間の大きさです。例えば2 cm×3 cmの長方形は面積6 cm²、周10 cmで、それを高さ4 cmの直方体の底面にすると体積24 cm³になります。同じ数字を使っても、数えている量と単位が変わります。 Author calculation/condition proof: Invented rectangle2cm*3cm: area6cm²; perimeter2(2+3)=10cm. Invented prismheight4cm:2*3*4=24cm³. Area counts unit squares; volume counts unit cubes. No real object measurement is claimed. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-geometry, sectionIndex 1 Unchanged title: Match the calculation to the measurement Added paragraph: Area measures the region covered in a plane; 1 cm² is the area of a square of side 1 cm. Perimeter measures boundary length, while volume measures space occupied by a solid. A 2 cm by 3 cm rectangle has area 6 cm² and perimeter 10 cm. Used as the base of a cuboid of height 4 cm, it gives volume 24 cm³. The measurement and unit change with the question. Author calculation/condition proof: Invented rectangle2cm*3cm: area6cm²; perimeter2(2+3)=10cm. Invented prismheight4cm:2*3*4=24cm³. Area counts unit squares; volume counts unit cubes. No real object measurement is claimed. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-fractions-ratios, sectionIndex 1 Unchanged title: 比の単位を足して全体をつくる Added paragraph: 百分率の％は、全体を百として表す割合です。小さい側の12/30＝2/5は40/100と等しいので40％です。2:3という二つの部分の比を、そのまま2/3＝約67％と読むと、比較相手を全体へ変えたことになりません。まず全体を決めてから百分率へ直します。 Author calculation/condition proof: Given previous example12/30=2/5=40/100=40%. 2/3=66.666...%≈67% refers to ratio of smaller to larger part, not smaller to whole. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-fractions-ratios, sectionIndex 1 Unchanged title: Turn a ratio into total equal shares Added paragraph: A percentage expresses a fraction of the whole as parts per hundred. The smaller share has 12/30 = 2/5 = 40/100, so it is 40% of the whole. Reading the part-to-part ratio 2:3 as 2/3, or about 67%, keeps the wrong reference for that question. Identify the whole before converting to a percentage. Author calculation/condition proof: Given previous example12/30=2/5=40/100=40%. 2/3=66.666...%≈67% refers to ratio of smaller to larger part, not smaller to whole. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-data, sectionIndex 1 Unchanged title: 中央値は位置、範囲は両端を見る Added paragraph: 中央値は並べた位置の中央、平均は合計を均等に分けた値、最頻値は最も多く現れる値です。自作の並び2、2、8なら、中央値と最頻値は2、平均は（2＋2＋8）÷3＝4です。二つが偶然同じ値になっても、求める手順まで同じとは限りません。 Author calculation/condition proof: Invented orderedlist2,2,8:sum12,count3,mean4;middle2,median2;mostfrequent2occurs twice,mode2. Thus equal numeric summaries do not imply identical concepts. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-data, sectionIndex 1 Unchanged title: Use position for the median and endpoints for the range Added paragraph: The median uses the middle ordered position, the mean redistributes the total equally, and the mode is the most frequently occurring value. In an invented list 2, 2, 8, the median and mode are 2 while the mean is (2 + 2 + 8)/3 = 4. Two summaries can have the same numerical value while using different procedures. Author calculation/condition proof: Invented orderedlist2,2,8:sum12,count3,mean4;middle2,median2;mostfrequent2occurs twice,mode2. Thus equal numeric summaries do not imply identical concepts. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-probability, sectionIndex 0 Unchanged title: 何を一つの結果として数えるか決める Added paragraph: 一つの結果と、それらを集めた事象も区別します。さいころの「2が出る」は一つの結果、「偶数が出る」という事象には2、4、6の三結果が入ります。公平なさいころなら各結果は1/6でも、三結果を合わせた事象は3/6です。事象の名前一つを、目一つと同じ単位で数えないようにします。 Author calculation/condition proof: Given fairdie sample1..6: singleton{2} probability1/6;evenevent{2,4,6} probability3/6=1/2. Group labels can contain multiple outcomes. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-probability, sectionIndex 0 Unchanged title: Keep the outcome units consistent Added paragraph: Distinguish an individual outcome from an event made of outcomes. Rolling 2 is one outcome; the event of rolling an even number contains 2, 4 and 6. With a fair die, each numbered outcome has probability 1/6, but the three-outcome event has probability 3/6. One event name does not necessarily represent one numbered outcome. Author calculation/condition proof: Given fairdie sample1..6: singleton{2} probability1/6;evenevent{2,4,6} probability3/6=1/2. Group labels can contain multiple outcomes. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-units, sectionIndex 1 Unchanged title: 面積では二つの方向を換算する Added paragraph: 単位は何を一つ分として数えるかの基準です。一辺1 cmの正方形が1 cm²、一辺1 cmの立方体が1 cm³なので、広さと空間の大きさを同じcmで数えることはできません。数字を換算する前に、長さ、面積、体積のどれを測っているかを確かめます。 Author calculation/condition proof: Unit definitions for spatial measures: side1cm squarearea1cm²; side1cm cubevolume1cm³; length1cm. Distinct dimension types cannot be converted to each other merely by a numeric length factor. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-units, sectionIndex 1 Unchanged title: An area conversion has two length factors Added paragraph: A unit specifies the amount counted as one. A square of side 1 cm has area 1 cm²; a cube of side 1 cm has volume 1 cm³. Length, area and volume therefore require different kinds of units. Identify the measurement before converting its numerical value. Author calculation/condition proof: Unit definitions for spatial measures: side1cm squarearea1cm²; side1cm cubevolume1cm³; length1cm. Distinct dimension types cannot be converted to each other merely by a numeric length factor. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-expressions, sectionIndex 0 Unchanged title: 等式を元の向きでも確認する Added paragraph: 80x＋100は、xを決めると値が決まる式です。これだけではxの答えを一つに絞る条件はありません。一方、80x＋100＝260という等式を条件にすれば、80x＝160からx＝2を求められます。量を表す式と、二つの量が等しいという条件を分けて読みます。 Author calculation/condition proof: Expressionf(x)=80x+100 assigns outputanypermittedx;equationf(x)=260 =>80x=160=>x2;substitute80*2+100=260. Equationaddscondition; expressionalone doesnotset output. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-expressions, sectionIndex 0 Unchanged title: An equality can be checked in both directions Added paragraph: The expression 80x + 100 gives a value once x is chosen; it does not by itself specify one answer for x. If the equality 80x + 100 = 260 is imposed, then 80x = 160 and x = 2. Distinguish an expression describing a quantity from an equation imposing an equality between quantities. Author calculation/condition proof: Expressionf(x)=80x+100 assigns outputanypermittedx;equationf(x)=260 =>80x=160=>x2;substitute80*2+100=260. Equationaddscondition; expressionalone doesnotset output. Original paragraph count 3; proposed 4. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### ja:math-chance-models, sectionIndex 1 Unchanged title: 二つの目の組と、独立した次の試行 Added paragraph: 公平さは各面の起こりやすさが等しいこと、独立性は他方の結果を知っても確率が変わらないことです。公平なコイン二枚でも、必ず同じ側になるよう結果を連動させた自作のモデルなら、表表と裏裏だけが各1/2で、四結果が各1/4にはなりません。公平という条件だけで独立を補わないようにします。 Author calculation/condition proof: Invented probabilitymodel on{HH,TT},each1/2. For each coinP(H)=P(T)=1/2,so bothmarginals fair. JointP(HH)=1/2 !=P(Hfirst)P(Hsecond)=1/4, hence notindependent. ConditionalP(secondH|firstH)=1 !=1/2. Model expressly invented, not assertion about physicalcoins. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ### en:math-chance-models, sectionIndex 1 Unchanged title: Ordered dice results and independent future tosses Added paragraph: Fairness gives equally likely sides; independence means that knowing one result does not change the probabilities of the other. In an invented model where two fair coin results are forced to match, HH and TT each have probability 1/2 and HT and TH are impossible. Both marginal coins are fair, but the pair is dependent. Fairness alone does not supply independence. Author calculation/condition proof: Invented probabilitymodel on{HH,TT},each1/2. For each coinP(H)=P(T)=1/2,so bothmarginals fair. JointP(HH)=1/2 !=P(Hfirst)P(Hsecond)=1/4, hence notindependent. ConditionalP(secondH|firstH)=1 !=1/2. Model expressly invented, not assertion about physicalcoins. Original paragraph count 4; proposed 5. All original section titles, order, paragraphs, examples, presets and source metadata remain untouched. ## Articles kept without additions - JA/EN math-graphs: existing conditions, constructions and comparison examples are already sufficient; avoid duplicate padding. - JA/EN math-counting: existing conditions, constructions and comparison examples are already sufficient; avoid duplicate padding. - JA/EN math-common-factors: existing conditions, constructions and comparison examples are already sufficient; avoid duplicate padding.