平方完成で読む二次式：最小値・対称軸・実数解

展開を逆向きにたどり、二乗を作る

まず（x−2）²は（x−2）（x−2）です。それぞれの項を掛けるとx²−2x−2x＋4＝x²−4x＋4となります。x²と4だけを残すと、二つの−2xを落としてしまいます。二乗の括弧を外すときは、同じ因子の積へ戻して確かめてください。

x²−4x＋7では、定数7を4＋3に分けます。x²−4x＋4の部分が（x−2）²なので、元の式は（x−2）²＋3です。4を新しく足したままにするのでなく、7のうち4を平方へ使い、残り3を外へ残しています。

一般にx²＋bx＋cは、（x＋b/2）²＋c−b²/4と書けます。括弧を展開するとx²＋bx＋b²/4になり、外の−b²/4で余分な定数が消えます。公式の形を覚える前に、展開して元の三項へ戻ることを確認すると、符号や定数を点検できます。

下限を示し、その値を取るxも確かめる

実数を二乗した値は零以上です。したがって（x−2）²＋3はどんな実数xでも3以上になります。さらにx＝2なら二乗部分が零になり、値は実際に3です。「3より小さくならない」と「3になる入力がある」の二つがそろって、最小値3と結論できます。

最初の例題で求めるのは式の値であって、xの値ではありません。2は最小値を取る入力、3はそのときの出力です。定数項7はx＝0での値ですが、最小値にはなりません。元の式へx＝2を入れて4−8＋7＝3とも確かめられます。

入力の範囲も読みます。別の練習条件として3≦x≦4に変えると、x＝2は選べません。この範囲ではx−2が1以上2以下なので、二乗は1以上です。x＝3で1になり、同じ式の最小値は4です。今回の例題は実数全体を許す条件だから、入力2を使えます。

同じ距離の入力から対称軸を読む

y＝（x−2）²＋1では、x＝1とx＝3を入れると、どちらもy＝2です。二つの入力は2から左と右へ同じ距離にあります。x＝2−tとx＝2＋tなら、二乗される数は−tとtで、二乗後の値は等しくなります。

この左右の対応が、縦の直線x＝2に関する対称性です。グラフ上で最も低い点を頂点と呼び、この式では（2、1）です。対称軸は頂点の高さy＝1でも、入力の数を高さへ移したy＝2でもありません。軸上では横座標が2で一定なので、x＝2と書きます。

括弧にx−2とあっても、軸の位置を−2とはしません。平方の中が零になるのはx＝2です。一般のy＝（x−h）²＋kでも、入力h−tとh＋tは同じ高さになり、対称軸はx＝h、頂点は（h、k）です。最小値kと、それを取る横座標hを分けて読みます。

零に届くかを見て、実数解を数える

最後の例題x²＋2x＋5＝0は、（x＋1）²＋4＝0と書き直せます。左辺はどんな実数xでも4以上なので、零にはなりません。従って異なる実数解は0個です。二次方程式という形だけから、実数解が二つあるとは決められません。

定数を変えた自作の三式を比べます。（x＋1）²＋4＝0には実数解がありません。（x＋1）²＝0ならx＝−1の1個です。（x＋1）²−4＝0ならx＋1が2または−2となり、x＝1、−3の2個です。二乗が負の値を求められるのか、零なのか、正の値なのかで分かれます。

例題の日本語解説は判別式Dを使い、D＝2²−4×1×5＝−16と計算します。x²＋bx＋cを平方完成したとき外に残る定数c−b²/4は、D＝b²−4cの−D/4です。この例では4＝−（−16）/4なので、「正の4が残って零に届かない」と「判別式が負」は同じ条件を別の形で読んでいます。

三例題を、同じ形へ戻して振り返る

下の三例題は、最小値、対称軸、実数解の数の順です。解答を開く前に「二乗＋定数」の形を書き、何を答えるかを短く添えてください。解説を読んだ後は伏せて、元の式への展開、最小値を取る入力、左右等距離の入力、零に届く条件を説明し直します。

文字や等号の役割に迷ったら、前提記事「未知の数に役割をつけて読む式」へ戻れます。関連記事「軸の意味からたどるグラフと座標」では横座標と縦座標の読み方を確認できます。練習の開始設定は高校段階・標準の「式・関数」です。この三例題だけを出す設定ではなく、同じ設定に合う別の問題も含みます。