# 平方完成：原稿の自作導出と例題確認
作成・確認日: 2026-10-09。作者: recovery-20261009-article-author。
対象 pairId: math-completing-square。これは作者の数学的導出であり、独立承認ではない。
本文は正の先頭係数1の二次式と、実数全体を対象にする。架空の練習式だけを扱い、課程境界、実物の測定、学習効果、SEO成果は主張しない。

## 1. 展開と平方完成の同値
分配法則より (x-h)^2=(x-h)(x-h)=x^2-hx-hx+h^2=x^2-2hx+h^2。
特に (x-2)^2=x^2-4x+4。従って x^2-4x+7=(x-2)^2+3。
7を4と3に分けると、平方の中に必要な4を用意しても元の値は変わらない。
一般に実数b,cについて x^2+bx+c=(x+b/2)^2+c-b^2/4。
展開するとx^2+bx+b^2/4+c-b^2/4=x^2+bx+cなので等式は全実数xで成立する。
数値を変えた検査: x=0で7、x=2で3、x=4で7を両表現で得る。
二乗は同じ因子の積であり、(x-2)^2=x^2+4ではない。差の交差項-4xが必要。

## 2. 最小値と達成点
実数tについて t>=0ならt*t>=0、t<0なら負数どうしの積でt*t>0。よってt^2>=0、等号はt=0のときだけ。
y=(x-h)^2+kは全実数xでy>=k。x=hが許され、そのときy=k。従って最小値はk、達成する入力はh。
元例 x^2-4x+7=(x-2)^2+3の最小値は3、入力は2。
hとkの区別:2はx、3はy。x=0の値7は実際の値だが最小ではない。
範囲制限には同じ達成点が入るとは限らない。自作変更例3<=x<=4では1<=x-2<=2、従って(x-2)^2>=1。
x=3で1を達成するため、同じ式のこの範囲の最小値は4。これは例題ma-0121の全実数条件を変更した別例。
先頭係数負へ最小値規則を広げない。-(x-h)^2+kは上限側の形である（本文はその場合の解法を扱わない）。

## 3. 対称性
f(x)=(x-h)^2+kとし、任意の実数tについて f(h-t)=(-t)^2+k=t^2+k=f(h+t)。
同じyでhから左右等距離の点が対になるため、縦線x=hを軸とする対称性がある。
ma-0114 f(x)=(x-2)^2+1の点は(1,2),(2,1),(3,2)。
中心入力2、頂点(2,1)、軸x=2。縦線の式はx一定であり、y=2とy=1は横線。
横線y=1反射では(1,2)が(1,0)へ移るが、f(1)=2なので反射点はグラフ上にない。
横線y=2反射では(2,1)が(2,3)へ移るがf(2)=1。軸x=-2反射では(2,1)が(-6,1)へ移るがf(-6)=65。
従って提示4候補のうちx=2だけが対称軸。原稿は頂点のy値と軸のx値を区別する。

## 4. 実数解数
x^2+2x+5=(x+1)^2+4>=4>0なので、この式=0の実数解は0個。
別法:判別式D=b^2-4ac=2^2-4*1*5=-16。
先頭係数1では平方完成の定数c-b^2/4=(4c-b^2)/4=-D/4。
元例は4=-(-16)/4。平方完成からは(x+1)^2=-4となるので実数の二乗の条件で不可能。
比較用の自作3式:
(x+1)^2+4=0 ->0個。
(x+1)^2=0 ->x=-1だけ、異なる実数解1個。
(x+1)^2-4=0 ->x+1=2または-2、x=1または-3で2個。両方代入して4-4=0。
一般形(x-h)^2+k=0について、k>0で0個、k=0で1個、k<0でh+sqrt(-k),h-sqrt(-k)の2個。
-k>0の平方根は正であり、二つの解は異なる。ここでは実数解だけを数え、複素数の解の有無は主張しない。

## 5. 現例題の全選択肢と対訳
例題順序はma-0121,ma-0114,ma-0122。すべて日英同ID・同revision・high/standard/式・関数。
ma-0121:
3:実数二乗非負による下限をx=2で達成する正答。
7:x=0での値で、定数項だけを最小と読む想定混同。3より大きく最小でない。
-4:xの係数を値と取り違える想定混同。下限3未満で達成不可。
2:平方を0にする入力と、求める出力の最小値を取り違える想定混同。下限3未満。
ma-0114:
y=2:中心の入力2を、横線の高さへ取り違える想定混同。上記反射反例で不成立。
x=2:等距離入力で同値になる軸の正答。
y=1:頂点の高さ1を横線の軸に取り違える想定混同。上記反射反例で不成立。
x=-2:x-2の符号を、そのまま軸の位置と読む想定混同。平方を0にする入力は+2。
ma-0122:
無限個/Infinitely many:恒等的な0と二次式を混同する想定候補。全xで>=4のため不可。
0個/0:全実数で左辺>=4、正答。
1個/1:平方完成の中心x=-1だけを解と読む想定混同。代入値4なので解でない。
2個/2:二次式なら必ず異なる実数解2個という想定混同。平方が負となる条件なので不可。
想定混同は編集上の解釈であり、実際の利用者の誤答率を観測したものではない。

日本語と英語の全設問、全選択肢、答え、説明を実読した。
ma-0121は実数全体の最小出力、ma-0114は垂直対称軸、ma-0122は異なる実数解数という同じ問いを保つ。
日本語ma-0122の解説は判別式、英語は平方完成と判別式の両方で、上の同値により結論が一致する。
原稿の節ではこの接続を説明し、既存の問題/解説/出典/承認は編集しない。