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Explanations for checking this guide

Composition and inverse functions: follow the input-output arrows

This companion brings together explanations included in the guide.

Does adding one and then squaring give the same result as squaring and then adding one? With input 2, the first route gives 9 and the second gives 5. When functions are combined, the order in which a value passes through them determines the answer.

A function assigns one output to each allowed input. On paper, write input → intermediate value → output. We will examine composition, reversal and inputs sharing an output, starting with functions defined on all real numbers and later comparing a restricted input domain.

The inner function supplies the first arrow

The first exercise defines f(x) = x² and g(x) = x + 1 and asks for f(g(2)). Evaluate the inner g(2) first to get 3, then use that as the input to f: f(3) = 9. The arrows are 2 → 3 under g → 9 under f. The nested parentheses describe this handoff.

Reversing the order gives g(f(2)): 2 → 4 under f → 5 under g. For general inputs, f(g(x)) = (x + 1)² while g(f(x)) = x² + 1, so they are different expressions. Composition also requires the inner output to be an allowed input to the outer function. Both rules here send real numbers to real numbers, so that condition is met.

An inverse undoes the operations in reverse order

The second exercise now defines f(x) = 3x − 2. This f is a new rule, separate from the first exercise's square function. To undo multiplying by three and subtracting two, add two and then divide by three. Solving y = 3x − 2 for x gives x = (y + 2)/3. The inverse is f⁻¹(x) = (x + 2)/3.

For example, input 4 gives output 10, and applying the inverse to 10 returns 4. For every real input, ((3x − 2) + 2)/3 = x and 3((y + 2)/3) − 2 = y check both directions. The original domain and the range of outputs it actually reaches are both all real numbers. The inverse therefore also accepts every real number.

The superscript −1 names an inverse, not a reciprocal

The symbol f⁻¹ names the function that returns from an output to the original input. It differs from the reciprocal 1/f(x). For the preceding f, f⁻¹(2) = 4/3 whereas 1/f(2) = 1/4. Moreover, 1/(3x − 2) is undefined at x = 2/3, while the inverse (x + 2)/3 accepts that input.

If a candidate inverse looks plausible, feed it the original function's output and check that it returns the original input. The exercise's candidate (x − 2)/3 instead gives x − 4/3 after f. The candidate 3x + 2 gives 9x − 4. Check that division undoes multiplication by three as well as checking the sign of the constant.

What if two inputs arrive at the same output?

The third exercise asks for an even function on all real numbers: one satisfying f(−x) = f(x) for every real x. This does not restrict inputs to even integers. The choice x⁴ + 1 satisfies (−x)⁴ + 1 = x⁴ + 1. The other choices, 2x, x³ and x + 1, give different values at 1 and −1, so none is even.

The rule x⁴ + 1 sends both 1 and −1 to 2. From output 2, a reverse rule cannot choose one input and recover both originals. Thus this function on the whole real domain has no inverse that returns every original input. Squaring has the same problem. Restricting the square function to nonnegative inputs instead gives nonnegative outputs and allows the nonnegative square root to recover the original input. Retain that change of domain when describing the inverse.

Draw the order and the return trip yourself

For paper practice, set A(x) = 2x + 3 and B(x) = x². Draw separate arrows for A(B(2)) and B(A(2)), then find the inverse of A. The first chain is 2 → 4 → 11; the second is 2 → 7 → 49. The inverse of A is (x − 3)/2, which returns its output to the original input.

The three exercises below cover composition, inversion and evenness in that order. Write the intermediate value, the reverse calculation and the sign-reversed input before opening the answers. For substitution, revisit the prerequisite “Expressions: give the unknown a role.” For symmetry arising from a square, read the related “Completing the square: minima, symmetry and real solutions.” The practice preset selects standard, high-school-level questions on expressions and functions, including other matching questions beyond these three.

How to practise

Evaluate composition from the inside out and check that each intermediate output is accepted by the next function.

State the domain and range for a proposed inverse and check the return trip in both directions.

If different inputs share an output, consider whether one original input can be recovered and keep the input domain explicit.

Check the input domain before reversing a square

For real x, √(x²) = |x|; at x = −2 it gives 2. The square and square-root rules undo each other here when the original input is restricted to nonnegative values.

Example 1

Let f(x) = x² and g(x) = x + 1. What is f(g(2))?

Choices

5

6

8

9

Answer: 9

Apply the inner function first: g(2) = 3. Then f(3) = 3² = 9.

Example 2

What is the inverse function of f(x) = 3x − 2?

Choices

f⁻¹(x)＝(x＋2)/3

f⁻¹(x)＝(x−2)/3

f⁻¹(x)＝1/(3x−2)

f⁻¹(x)＝3x＋2

Answer: f⁻¹(x)＝(x＋2)/3

Solve y = 3x − 2 for x: x = (y + 2)/3. Swapping input and output labels gives f⁻¹(x) = (x + 2)/3. An inverse function is different from a reciprocal.

Example 3

Which function on the real numbers is even?

Choices

f(x)＝2x

f(x)＝x⁴＋1

f(x)＝x³

f(x)＝x＋1

Answer: f(x)＝x⁴＋1

An even function satisfies f(−x) = f(x). For x⁴ + 1, the fourth power is unchanged by reversing the sign of x. The other choices fail this identity.

日本語

本文と例題の確認用説明

どちらを先に使う？矢印でほどく関数の合成と逆関数

この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。

「1を足してから二乗」と「二乗してから1を足す」は、同じ結果になるでしょうか。入力2なら前者は9、後者は5。関数を組み合わせるときは、式の見た目だけでなく、値が通る順番が答えを決めます。

関数は、使ってよい各入力に出力を1つずつ対応させる規則です。紙に入力→途中の値→出力と書き、合成・逆向きの操作・同じ出力になる入力を順に調べましょう。まず実数全体を入力にする例から始め、後半で入力範囲を変えた場合を比べます。

内側の関数が、最初に通る矢印

最初の例題はf(x)＝x²、g(x)＝x＋1のときのf(g(2))です。内側のg(2)を先に計算して3、それをfの入力にしてf(3)＝9。矢印なら「2 → gで3 → fで9」となります。f(g(2))の括弧は、この受け渡しを表しています。

逆順のg(f(2))なら「2 → fで4 → gで5」です。一般の入力でもf(g(x))＝(x＋1)²、g(f(x))＝x²＋1となり、同じ式ではありません。また、一般に合成するには、内側の出力が外側で使える入力である必要があります。この例の2つの規則は実数を実数へ移すので、その条件を満たします。

逆関数は、操作を逆順にほどく

2つ目の例題では、改めてf(x)＝3x−2とします。ここからのfは最初の二乗の関数とは別です。「3倍して2を引く」を元に戻すには「2を足して3で割る」と逆順にたどります。y＝3x−2をxについて解くとx＝(y＋2)/3。逆関数はf⁻¹(x)＝(x＋2)/3です。

例えば4を入れると10になり、10を逆関数に入れると4に戻ります。さらに、どの実数でも((3x−2)＋2)/3＝x、3((y＋2)/3)−2＝yと往復できます。元の関数の入力も、実際に得られる出力の範囲も実数全体であり、逆関数も実数全体を入力にできます。

肩の−1を「逆数」と読み違えない

逆関数のf⁻¹は、出力から元の入力へ戻す関数の名前です。1/f(x)という逆数とは違います。先ほどのfなら、f⁻¹(2)＝4/3ですが、1/f(2)＝1/4です。しかも1/(3x−2)はx＝2/3では使えない一方、逆関数(x＋2)/3はその入力でも定義されます。

式を見ただけで迷うときは、逆関数の候補に元の出力を入れ、元の入力へ戻るかを確かめましょう。例題の(x−2)/3は、元のfのあとに使うとx−4/3になり戻りません。3x＋2も9x−4になってしまいます。足し引きの符号だけでなく、割り算で3倍を戻しているかも確認します。

同じ出力に2つの入力が集まったら？

3つ目の例題の偶関数は、実数全体でf(−x)＝f(x)となる関数です。偶数の入力だけを使うという意味ではありません。選択肢のx⁴＋1では(−x)⁴＋1＝x⁴＋1なので、この条件が成り立ちます。2x、x³、x＋1は、それぞれ1と−1を入れると違う値になるので偶関数ではありません。

x⁴＋1は1と−1の両方を2へ移します。出力2から元の入力を1つに決められないため、実数全体を入力とするこの関数には、すべての入力へ戻せる逆関数がありません。同じことはx²にも起きます。ただしx²の入力を0以上に制限すれば、出力も0以上となり、非負の平方根で元の入力へ戻せます。元の入力範囲を変えたことを忘れないでください。

矢印を自分で書いて、順序と往復を確かめる

紙の練習ではA(x)＝2x＋3、B(x)＝x²と置きます。A(B(2))とB(A(2))を別々の矢印で計算し、Aの逆関数も作ってみましょう。前者は2→4→11、後者は2→7→49です。Aの逆関数は(x−3)/2で、Aの出力を入れると元の入力へ戻ります。

下の3例題は合成、逆関数、偶関数の順です。解答を見る前に、途中の値・逆向きの計算・符号を変えた入力を書きましょう。文字への代入は前提記事「文字式も怖くない！xや等式の意味がスッキリわかるコツ」へ、二乗による左右対称は関連記事「なぜ二乗の形にするの？平方完成で二次関数がスッキリ解けるコツ」へ。練習では高校・標準の「式・関数」が選ばれ、この3問以外の同条件の問題も含まれます。

取り組み方

合成は内側から計算し、途中の出力が次の関数の入力に使えるか確認する。

逆関数の候補は、入力と出力の範囲を明記して両方向に往復させる。

違う入力が同じ出力になる場合、元の入力を1つに戻せるか、入力範囲とともに考える。

平方根で戻すときは、入力範囲を確認

実数全体では√(x²)＝|x|で、x＝−2なら結果は2です。二乗と平方根が元へ戻す組になるという説明は、ここでは元の入力を0以上に制限して使っています。

例題 1

f(x)＝x²、g(x)＝x＋1。f(g(2))は？

選択肢

5

6

8

9

正解：9

gを先に使いg(2)＝3、次にf(3)＝9。

例題 2

f(x)＝3x−2の逆関数は？

選択肢

f⁻¹(x)＝(x＋2)/3

f⁻¹(x)＝(x−2)/3

f⁻¹(x)＝1/(3x−2)

f⁻¹(x)＝3x＋2

正解：f⁻¹(x)＝(x＋2)/3

y＝3x−2をxについて解くと、y＋2＝3x、x＝（y＋2）/3です。入力と出力の記号を入れ替え、逆関数はf⁻¹(x)＝（x＋2）/3となります。もとの規則「三倍して二を引く」を逆順に戻し、「二を足して三で割る」操作です。f⁻¹は逆関数の記号で、1/f(x)という逆数とは別です。

例題 3

実数全体で偶関数は？

選択肢

f(x)＝2x

f(x)＝x⁴＋1

f(x)＝x³

f(x)＝x＋1

正解：f(x)＝x⁴＋1

偶関数の「偶」は、入力が偶数だけというわけではありません。正負を逆にした入力で同じ値になる性質です。偶関数はf(−x)＝f(x)。偶数乗の符号は変わらない。