i²が−1ならどう計算する？複素数の積・共役・割り算をつなごう

積：四つの項を出してからi²を置き換える

複素数はa＋biという形で書き、aとbは実数、i²＝−1とします。aが実部、bが虚部です。虚部というときは、iを含む項全体ではなく、iの係数を指します。

1問目は（1＋2i）（3−i）です。展開すると3−i＋6i−2i²。ここで−2i²＝＋2になるので、実数の項は3＋2＝5、iの項は−i＋6i＝5iとなり、答えは5＋5iです。−2i²を−2のままにすると、実部を誤ります。

共役：実部を残し、虚部の符号を変える

a＋biの共役はa−biです。2問目の3−4iでは、実部が3、虚部が−4なので、共役は3＋4i。元の数を丸ごと−1倍した−3＋4iとは違います。

共役を取ったあと、もう一度共役を取ると元の数に戻ります。「実部はそのままか」「虚部の符号だけ変えたか」の二点で確かめましょう。座標や成分の順番を入れ替える操作でもありません。

割り算：共役を掛けると分母で何が消える？

3問目は1/（1＋i）です。分子と分母の両方に、分母の共役1−iを掛けます。分母は（1＋i）（1−i）＝1−i²＝2なので、答えは（1−i）/2。分子だけに掛けると、元の分数と値が変わってしまいます。

一般に（a＋bi）（a−bi）＝a²＋b²です。展開したときの−abiと＋abiが打ち消し合い、残った−b²i²が＋b²になります。a＋biが0でなければa²＋b²は正なので、この方法で分母を0でない実数にできます。

最後は逆数の確認です。（1＋i）×（1−i）/2＝1となります。選択肢の1−iでは積が2になるため、分母の2を落としてはいけません。

練習：共役と逆数を区別して説明する

まず3問を、展開、共役、分母を実数にする操作の順に説明し直しましょう。追加の手計算では（2＋i）（2−i）＝5を確かめ、その結果から1/（2＋i）＝（2−i）/5を作れます。共役2−iと逆数（2−i）/5は別の値です。

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