English Explanations for checking this guide What changes when i² = −1? Connect products, conjugates and division This companion brings together explanations included in the guide. You can expand algebraic expressions, yet a calculation suddenly looks unfamiliar when i appears. Start with one rule, i² = −1, and follow the terms using the distributive law you already know. This article builds on expressions and equalities from the prerequisite article, and checks expansion using the distributive law here. Work through a product, a conjugate and a reciprocal, then connect them to see why conjugates help with division. Each new symbol is introduced where it is needed. Products: expand all four terms before replacing i² Write a complex number as a + bi, where a and b are real and i² = −1. Its real part is a and its imaginary part is b. The imaginary part means the real coefficient of i, rather than the whole term bi. The first example is (1 + 2i)(3 − i). Expanding gives 3 − i + 6i − 2i². Since −2i² = +2, the real terms give 3 + 2 = 5 and the i terms give −i + 6i = 5i. The answer is 5 + 5i. Leaving −2i² as −2 gives the wrong real part. Conjugates: keep the real part and reverse the imaginary part The conjugate of a + bi is a − bi. In the second example, 3 − 4i has real part 3 and imaginary part −4, so its conjugate is 3 + 4i. This differs from multiplying the whole original number by −1, which gives −3 + 4i. Taking the conjugate twice returns the original number. Check that the real part stays unchanged and only the sign of the imaginary part reverses. Conjugation does not swap the components either. Division: what cancels when you multiply by a conjugate? The third example is 1/(1 + i). Multiply both numerator and denominator by the denominator’s conjugate, 1 − i. The denominator becomes (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2, giving (1 − i)/2. Multiplying only the numerator changes the value of the fraction. In general, (a + bi)(a − bi) = a² + b². The terms −abi and +abi cancel, and the remaining −b²i² becomes +b². If a + bi is nonzero, a² + b² is positive, so this method makes the denominator a nonzero real number. Check the reciprocal by multiplying back: (1 + i) × (1 − i)/2 = 1. The option 1 − i would give a product of 2, so the denominator 2 cannot be dropped. Practice: explain how a conjugate differs from a reciprocal Explain the three examples in order: expansion, conjugation and making a denominator real. For an extra hand calculation, verify (2 + i)(2 − i) = 5 and use it to obtain 1/(2 + i) = (2 − i)/5. The conjugate 2 − i and the reciprocal (2 − i)/5 have different values. The practice button selects high-school standard questions in Numbers and calculation. It also includes matching questions beyond complex numbers. Return to the prerequisite article for algebraic expressions, or follow the related article on exponents and logarithms to organize powers and inverse questions. How to practise Expand every term using the distributive law, then replace i² with −1. Keep the real part and reverse only the imaginary part to form a conjugate. For division, multiply numerator and denominator by the same nonzero conjugate, then check the reciprocal by multiplying by the original denominator. A conjugate alone is not a reciprocal The conjugate of 1 + i is 1 − i, but its reciprocal is (1 − i)/2. Use the real product with the conjugate while keeping track of the denominator. Distinguish conjugation, negation and taking a reciprocal. Example 1 What is (1 + 2i)(3 − i)? Choices 5−5i 3＋6i 5＋5i 1＋5i Answer: 5＋5i Expand to 3 − i + 6i − 2i². Using i² = −1 gives 5 + 5i. Example 2 What is the complex conjugate of z = 3 − 4i? Choices −3＋4i −3−4i 4−3i 3＋4i Answer: 3＋4i The imaginary part of 3 − 4i is the real coefficient −4; its real part is 3. Complex conjugation keeps the real part and reverses the sign of the imaginary part, giving 3 + 4i. Example 3 Which expression equals 1/(1 + i)? Choices −i （1−i）/2 1−i （1＋i）/2 Answer: （1−i）/2 Multiply numerator and denominator by 1 − i. The denominator is (1 + i)(1 − i) = 2, giving (1 − i)/2. 日本語 本文と例題の確認用説明 i²が−1ならどう計算する？複素数の積・共役・割り算をつなごう この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。 文字式の展開ならできるのに、iが出てくると急に別の計算に見える。そんなときは、まず「i²＝−1」という一つの約束を置き、いつもの分配法則で項を追ってみましょう。 この記事では、前提の文字式の記事で扱った文字や等式の考え方を使い、ここで分配法則による展開を確かめます。複素数の積、共役、逆数の3問を順に解き、共役が割り算に役立つ理由までつなぎます。新しい記号の意味は、その場で確認します。 積：四つの項を出してからi²を置き換える 複素数はa＋biという形で書き、aとbは実数、i²＝−1とします。aが実部、bが虚部です。虚部というときは、iを含む項全体ではなく、iの係数を指します。 1問目は（1＋2i）（3−i）です。展開すると3−i＋6i−2i²。ここで−2i²＝＋2になるので、実数の項は3＋2＝5、iの項は−i＋6i＝5iとなり、答えは5＋5iです。−2i²を−2のままにすると、実部を誤ります。 共役：実部を残し、虚部の符号を変える a＋biの共役はa−biです。2問目の3−4iでは、実部が3、虚部が−4なので、共役は3＋4i。元の数を丸ごと−1倍した−3＋4iとは違います。 共役を取ったあと、もう一度共役を取ると元の数に戻ります。「実部はそのままか」「虚部の符号だけ変えたか」の二点で確かめましょう。座標や成分の順番を入れ替える操作でもありません。 割り算：共役を掛けると分母で何が消える？ 3問目は1/（1＋i）です。分子と分母の両方に、分母の共役1−iを掛けます。分母は（1＋i）（1−i）＝1−i²＝2なので、答えは（1−i）/2。分子だけに掛けると、元の分数と値が変わってしまいます。 一般に（a＋bi）（a−bi）＝a²＋b²です。展開したときの−abiと＋abiが打ち消し合い、残った−b²i²が＋b²になります。a＋biが0でなければa²＋b²は正なので、この方法で分母を0でない実数にできます。 最後は逆数の確認です。（1＋i）×（1−i）/2＝1となります。選択肢の1−iでは積が2になるため、分母の2を落としてはいけません。 練習：共役と逆数を区別して説明する まず3問を、展開、共役、分母を実数にする操作の順に説明し直しましょう。追加の手計算では（2＋i）（2−i）＝5を確かめ、その結果から1/（2＋i）＝（2−i）/5を作れます。共役2−iと逆数（2−i）/5は別の値です。 練習ボタンでは「数と計算」の高校・標準問題を選びます。複素数以外の該当問題も含まれます。文字式の扱いは前提記事へ、累乗や逆の問いを整理したいときは関連記事の指数・対数へ進めます。 取り組み方 分配法則で項をすべて出し、i²を−1に置き換える。 共役では実部を保ち、虚部の符号だけを変える。 割り算では分子と分母に同じ0でない共役を掛け、元の分母との積で逆数を確認する。 共役を取るだけでは逆数にならない 1＋iの共役は1−iですが、逆数は（1−i）/2です。共役との積が実数になる性質を使って、分母も含めて計算します。共役、符号反転、逆数という三つの操作を区別しましょう。 例題 1 （1＋2i）（3−i）は？ 選択肢 5−5i 3＋6i 5＋5i 1＋5i 正解：5＋5i 展開すると3−i＋6i−2i²。i²＝−1を使う。 例題 2 z＝3−4iの複素共役は？ 選択肢 −3＋4i −3−4i 4−3i 3＋4i 正解：3＋4i 3−4iでは実部は3、虚部は−4です。虚部はi自体でなく、その係数を指します。実部を保ち、虚部の符号だけを変える。共役は3＋4iです。 例題 3 1/(1＋i)は？ 選択肢 −i （1−i）/2 1−i （1＋i）/2 正解：（1−i）/2 分子と分母に共役1−iを掛けると、1/(1＋i)＝（1−i）/［（1＋i）（1−i）］です。分母は1−i²＝2なので、（1−i）/2になります。分子だけに1−iを掛けると値が変わります。最後に（1＋i）×（1−i）/2＝1と確かめれば、元の数の逆数になっています。