順列と組合せ：同じ結果を何回数えたか

まず、違う結果になる条件を決める

一列の本は左から順に読み、どの本がどの位置にあるかを記録します。異なる四冊なら、列の順を逆にしたものも別の並びです。一方、二人組を作るだけなら、誰を先に選んだかは完成した組に残りません。「並べる」「選ぶ」という動詞だけでなく、結果に位置や役割が残るかを読みます。

同じ文字Aが二つある文字列では、二つのAに仮の番号を付けて計算しても、その番号は完成した文字列にありません。数えやすくするために足した区別を、答えにも残してよいかが次の問いです。

異なる四冊は、残る本から位置を埋める

最初の位置には四冊のどれでも置けます。一冊を置くと次の位置は残る三冊、その次は二冊、最後は一冊です。各選び方から別の完成列ができるので、4×3×2×1＝24通りになります。最初を一冊に固定しても残り三冊には六通りあり、四つの最初の選択にそれぞれ六通りが続くと考えられます。

この積を4!と書き、四の階乗と読みます。正の整数nについて、n!はnから1までを掛けた積です。ここで掛ける理由は、位置を順に埋める選択を数えているからです。確率の独立性を仮定して掛けているのではありません。

24を二で割った12は、列とその逆順を同じとするなら得られる数です。しかし今回の条件は一列への並び方で、その同一視はありません。最初の位置だけを数えた4も、残りの位置の六通りを数え落としています。

二人組は、二つの選び順を一つにまとめる

五人をP、Q、R、S、Tと名づけます。先に一人、次に別の一人を選ぶ記録は5×4＝20通りです。そのうちPの後にQを選ぶ記録と、Qの後にPを選ぶ記録は、完成すると同じ二人組PQです。どの二人組にも二つの選び順があるので、20÷2＝10通りです。

一覧でも確認できます。PQ、PR、PS、PT、QR、QS、QT、RS、RT、STの十組です。Pを含む四組、Pを含まずQを含む三組、さらに二組、一組と並べると、重複せず4＋3＋2＋1＝10になります。

別の条件として二人を議長と記録係へ割り当てるなら、Pが議長でQが記録係の場合と、その逆は別の結果です。この条件なら20通りのままです。今回の例題は役割を指定せず、順序を区別しない二人組を問うので、二で割る理由が成立します。

同じAの仮番号を消して、文字列を数える

A、A、Bの二つのAへ、計算用にA1、A2と番号を付けます。番号を残した三つの物なら3×2×1＝6通りです。A1A2BとA2A1Bは、番号を消すとどちらもAABになります。同じようにA1BA2とA2BA1はABA、BA1A2とBA2A1はBAAです。

どの完成文字列にも番号つきの並びが二つずつ対応するので、6÷2＝3通りです。Bの位置を先頭・中央・末尾から選ぶ方法でも、三つと確認できます。Bの位置を決めれば、残る二か所は両方Aになるからです。

消しているのはAの仮番号だけです。AABとBAAは文字の位置が違うので別の文字列です。もし最初から番号の見える別々のカードA1、A2、Bを並べ、番号も結果へ残す問題なら六通りですが、それは今回とは条件の異なる自作の比較例です。

割る数を、各結果に対応する記録の数で説明する

二人組では選び順が二つ、同じAを含む文字列では仮番号の割当てが二つありました。求める結果ごとに、途中の記録が必ず同じ二個ずつまとまるから二で割れます。似たものがあるという理由だけで割るのではなく、「この結果を何回数えたか」を一つずつ説明してください。

数える対象を変更した場合、同じ割る数が使えるとは限りません。列を逆順と同じにするか、円の回転を同じにするかといった条件は、今回の例題にはありません。書かれていない同一視を足さず、結果へ残る区別を守ります。

ここで求めているのは可能な結果の個数です。その個数から確率を求めるには、試行の規則と各結果の起こりやすさも必要です。二人組が十通りと分かっただけでは、実際の選び方が十組を等しい確率で選ぶとはまだ言えません。

三例題を、記録と結果の二段階で振り返る

下の例題は異なる本、順序のない二人組、同じ文字を含む列の順です。解答を開く前に、まず何を一つの結果とするかを書き、位置ごとの選択数か、重複しない短い一覧を作ってください。解説の後は伏せて、掛け算で数えたものと、二で割るときの二つの記録を説明し直します。

商や余りが何を数えたかに迷ったら、前提記事「組・間隔・端を分ける個数の問題」へ戻れます。次は関連記事「結果を並べてから数える確率の入口」で、同じ起こりやすさの条件を確かめましょう。「次の条件が変わるかを読む確率のモデル」では順序や抽出規則による違いを比べられます。練習設定は高校段階・標準の「確率・統計」で、この三例題以外の一致する問題も含みます。