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Explanations for checking this guide

Negating conditions: not all, not both and neither

This companion brings together explanations included in the guide.

Suppose one item on a three-item checklist remains unchecked. “Every item has been checked” is false, but “No item has been checked” need not be true. Extending a negation too far changes the claim.

In mathematics, a negation is false when the original statement is true, and true when the original is false. Here each statement has one of these two truth values. Use “every,” “and” and “or” as markers, keeping the domain separate from the way conditions are combined as you approach the three exercises below.

One or more counterexamples defeat “every”

The first exercise asks for the negation of “P(n) holds for every integer n.” The predicate P(n) becomes true or false when n is supplied. Holding for every integer means there is no integer where it fails. Its negation is therefore “There exists an integer n for which P(n) is false.” The domain remains the integers before and after negation.

Let P(n) mean “n is even.” The integer 1 is a counterexample, so “Every integer is even” is false. Yet 0 is even, so “P(n) is false for every integer” goes too far. The integer 3 is another counterexample, so “exactly one” is also too strong. Existence means at least one, without restricting the number to one. “P(n) is true for some integer” is not the negation either: if P(n) is n² ≥ 0, that statement and the original universal claim are both true.

Negating “and” does not require both to fail

In the second exercise, A and B each stand for a statement. “A and B” is true only when both are true. Its negation says that at least one is false: “not A or not B.” Both may be false, but the cases with just one false must also be included.

For an integer n, let A mean “n > 0” and B mean “n is even,” and take n = 3. A is true and B is false, so “A and B” is false. Its negation is true, while “not A and not B” is false. List the assignments as (true, true), (true, false), (false, true), (false, false). The conjunction is true only in the first row; its negation is true in the other three.

Mathematical “or” includes both true

The third exercise asks which cases “A or B” includes. The or used here is true when at least one statement is true. With the preceding predicates at n = 2, the integer is both positive and even. Both statements are true, and this case is included in “A or B.” To require exactly one, state that extra restriction explicitly.

“A or B” is false only when both statements are false. Its negation is therefore “not A and not B.” Compare this with the negation of and: negate each statement and exchange and with or. These two equivalences are De Morgan’s laws. Check that the results agree in all four truth assignments instead of relying only on a word-swapping mnemonic.

Preserve both the scope and the domain

Negating the whole statement “A and B” also differs from writing “not A and B.” Negating A alone misses the case where A is true and B is false. Put parentheses around the entire statement being negated before checking its connective. Similarly, the negation of “n > 0” is “n ≤ 0,” including zero, rather than just “n < 0.”

Write down the domain as well. Among integers, “not even” means “odd,” but changing the domain to all real numbers does not preserve that replacement. Also, knowing P(n) is true for one n differs from knowing it is true for every integer. Do not silently exchange “some” and “every” while forming a negation.

Rework the three exercises with a domain note and four rows

For paper practice, write “domain = integers” and “every → at least one counterexample” beside the first exercise. Use the even-integer predicate to check why “all fail” and “exactly one fails” are too strong. For the next two exercises, list all four truth assignments for A and B, enter the results for and and or, then reverse each truth value. In the order (true, true), (true, false), (false, true), (false, false), the negation of and is false, true, true, true; the negation of or is false, false, false, true.

To review substituting values for a variable, revisit the prerequisite “Expressions: give the unknown a role.” To move from defining conditions to counting outcomes, continue to the related “Arrangements and selections: count each result once.” The practice preset selects standard, high-school-level questions on logic and applications, including other matching questions beyond these three.

How to practise

Fix the domain, such as integers, and distinguish every, at least one and exactly one.

Put parentheses around the whole statement being negated and compare and and or across all four truth assignments.

Check for an over-strong negation using a case with just one failed condition or a boundary value such as zero.

Several successful examples do not establish “every”

A statement about every integer can be refuted by one counterexample. Checking several integers successfully does not establish the claim for all the remaining integers. A reason covering the entire domain is needed.

Example 1

What is the negation of 'P(n) holds for every integer n'?

Choices

There exists an integer n for which P(n) is false

P(n) is false for every integer

There exists an integer for which P(n) is true

Exactly one integer makes P(n) false

Answer: There exists an integer n for which P(n) is false

To deny a universal statement, it is enough that at least one integer fails it. The negation is that there exists an integer n for which P(n) is false. Existence means at least one, not exactly one. For the claim that all integers are even, both 1 and 3 are counterexamples.

Example 2

What is the negation of 'A and B'?

Choices

A or B

A and B

Not A or not B

Not A and not B

Answer: Not A or not B

For both A and B to fail to hold together, at least one must be false. De Morgan's law gives 'not A or not B.'

Example 3

In mathematical logic, which case does 'A or B' normally include?

Choices

Exactly one must be true

Only when both are false

Only when A is false

The case where both A and B are true

Answer: The case where both A and B are true

The usual logical 'or' is inclusive: it is true if either statement is true or both are true. 'Exactly one' needs an additional restriction.

日本語

本文と例題の確認用説明

「すべてではない」は「どれもない」？条件の否定をほどく3つの例題

この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。

3項目のチェックリストで、1項目だけ未確認だったとします。「すべて確認済み」は成り立ちませんが、「どれも確認していない」とも言えません。文を否定するとき、否定する範囲を広げ過ぎると別の主張になってしまいます。

数学の否定は、元の文が真なら偽、偽なら真になる文です。ここでは各文を真か偽のどちらかとして扱います。「すべて」「かつ」「または」を目印に、対象の範囲と条件の組み方を分けて、下の3例題を読みましょう。

「すべて」を崩すには、反例が少なくとも1つ

最初の例題は「すべての整数nでP(n)」の否定です。P(n)は、nを入れると真偽が決まる条件を表します。すべての整数で成り立つとは、成り立たない整数が1つもないこと。その否定は「P(n)が偽となる整数nが存在する」です。対象は否定する前も後も整数のままです。

P(n)を「nは偶数」とすると、1は反例なので「すべての整数は偶数」は偽です。一方、0は偶数なので「すべての整数で偽」までは言えません。反例には3もあるため「ちょうど1個」も条件が強過ぎます。「存在する」は少なくとも1つであり、数を1つに限定しません。「真の整数が存在する」も、例えばP(n)がn²≧0なら元の全称の文と両立するので、否定にはなりません。

「かつ」の否定で、両方の失敗を要求しない

2つ目の例題では、A、Bをそれぞれ1つの文とします。「AかつB」が真なのは両方とも真のときだけです。それを否定すると「少なくとも一方が偽」、つまり「Aでない、またはBでない」です。両方とも偽でも構いませんが、一方だけ偽の場合も含みます。

具体的に整数nについて、Aを「n＞0」、Bを「nは偶数」としてn＝3を入れます。Aは真、Bは偽なので「AかつB」は偽。その否定は真ですが、「Aでない、かつBでない」は偽です。真偽を（真,真）、（真,偽）、（偽,真）、（偽,偽）の順に並べると、「かつ」は最初だけ真、否定は残り3通りで真になります。

数学の「または」は、両方とも真を含む

3つ目の例題は「AまたはB」が含む場合を聞いています。ここでの「または」は、少なくとも一方が真なら真です。先ほどの条件でn＝2なら、正であり偶数でもあるので、両方とも真。この場合も「AまたはB」に含まれます。「一方だけ」としたい場合は、その追加条件を明示する必要があります。

「AまたはB」が偽なのは両方とも偽のときだけです。従ってその否定は「Aでない、かつBでない」になります。「かつ」の否定と並べると、各文を否定すると同時に、かつとまたはを交換しています。この2つがド・モルガンの法則です。単語の置換だけで暗記せず、真偽4通りで同じ結果になるか確認しましょう。

否定する範囲と、対象の範囲を保つ

「AかつB」全体の否定は、「Aでない、かつB」とも違います。Aだけを否定してしまうと、例えばAが真、Bが偽の場合を取り逃します。まず否定する文全体を括弧で囲み、その内側の組み方を確認します。「n＞0」の否定も「n＜0」だけではなく、0を含めた「n≦0」です。

対象の範囲も書き残しましょう。整数の中では「偶数でない」を「奇数」と言い換えられますが、実数全体に範囲を変えて同じ言い換えをすることはできません。また、1つのnでP(n)が真と分かることと、すべての整数で真と分かることは別です。否定を作る途中で「ある」と「すべて」を勝手に読み替えないようにします。

3例題を、対象のメモと4行の表で解き直す

紙の練習では、最初の例題の横に「対象＝整数」「すべて→少なくとも1つの反例」と書き、偶数の条件で「全員失敗」「ちょうど1つ失敗」が強過ぎる理由を確かめます。続く2問ではAとBの真偽を4通り並べ、「かつ」「または」の結果と、その反対の真偽を書きましょう。順番を（真,真）、（真,偽）、（偽,真）、（偽,偽）とすれば、「かつ」の否定は偽・真・真・真、「または」の否定は偽・偽・偽・真です。

文字に値を入れるところを復習するなら、前提記事「文字式も怖くない！xや等式の意味がスッキリわかるコツ」へ。条件を整理したあとで場合を数える練習へ進むなら、関連記事「「並べる」と「選ぶ」はどう違う？順列と組合せをスッキリ見抜くコツ」が続きになります。練習では高校・標準の「論理・応用」が選ばれ、この3問以外の同条件の問題も含まれます。

取り組み方

対象を整数などと固定し、「すべて」「少なくとも1つ」「ちょうど1つ」を区別する。

否定する文全体を括弧で囲み、かつ・またはの真偽を4通りで比べる。

否定が強過ぎないか、一方だけ条件を満たさない場合や境界の0で確かめる。

例がいくつ当たっても、「すべて」の証明とは別

すべての整数を対象にする文は、1つの反例で否定できます。一方、何個かの整数で成り立つと確かめただけでは、残るすべての整数で成り立つとは言えません。対象全体を覆う理由が必要です。

例題 1

「すべての整数nでP(n)」の否定は？

選択肢

P(n)が偽となる整数nが存在する

すべての整数でP(n)が偽

P(n)が真の整数が存在する

P(n)が偽となる整数がちょうど1個ある

正解：P(n)が偽となる整数nが存在する

「すべての整数でP(n)」を否定するには、Pが成り立たない整数が少なくとも一つあれば十分です。従って否定は「ある整数nでP(n)が偽」となります。「すべての整数で偽」まで要求すると強すぎます。例えば「すべての整数は偶数」の否定には奇数1を示せばよく、偶数が一つもないと主張する必要はありません。 「存在する」はちょうど一つに限りません。整数がすべて偶数という命題には、1も3も反例になります。

例題 2

「AかつB」の否定は？

選択肢

AまたはB

AかつB

Aでない、またはBでない

Aでない、かつBでない

正解：Aでない、またはBでない

AかつBが成立するには、両方が真である必要があります。その否定は「少なくとも一方が偽」、つまりAでない、またはBでないです。Aだけが偽でも「両方真」は崩れるので、両方とも偽とまで求めません。真偽を四通り並べると、AもBも真の場合以外の三通りが否定に当たります。

例題 3

数学の論理で「AまたはB」は通常どの場合を含む？

選択肢

必ず一方だけ

両方偽の場合だけ

Aが偽の場合だけ

AとBの両方が真の場合も含む

正解：AとBの両方が真の場合も含む

通常の論理和は包含的。片方だけという条件は別に指定する。