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Explanations for checking this guide

A sum gives a vector, a dot product gives a number: checking perpendicularity

This companion brings together explanations included in the guide.

Travel 3 units right and 2 up, then 1 left and 1 up. Your total displacement is 2 right and 3 up. Vector components organize movement, including its direction, into a pair of numbers.

Start with the horizontal–vertical order and negative numbers in the graphs and coordinates article. We use perpendicular axes with the same unit length on each. Separate component-wise addition from a dot product, which produces a single number, and then examine why it can test perpendicularity.

1. Add horizontal and vertical components separately

The vector (a, b) represents a displacement of a horizontally and b vertically. A negative component means movement opposite to that axis’s positive direction. Following it with (c, d) gives total displacement (a + c, b + d). Distinguish the starting position from the displacement.

The first example asks for (2, −1) + (−3, 4). Horizontally, 2 − 3 = −1; vertically, −1 + 4 = 3. The result is (−1, 3). This displacement is unchanged if the journey starts somewhere other than the origin.

2. A dot product adds products of matching components

For plane vectors u = (a, b) and v = (c, d), define u · v = ac + bd. Addition returns a pair of components; a dot product returns one number. Check the operation symbol before calculating.

In the second example, (1, 2) · (3, −1) = 1 × 3 + 2 × (−1) = 1. Multiply horizontal by horizontal and vertical by vertical, then add. For our total displacement (2, 3) and another vector (3, −2), the dot product is 2 × 3 + 3 × (−2) = 0.

3. Why does a zero dot product mean perpendicular?

By Pythagoras, the squared length of u = (a, b) is a² + b². Draw both vectors from the same starting point. The squared distance between their tips is (a − c)² + (b − d)². Expanding gives the squared length of u plus the squared length of v minus 2(ac + bd).

For two nonzero vectors that are perpendicular, Pythagoras says that the squared distance between their tips equals the sum of their squared lengths. Comparing with the expansion gives ac + bd = 0. Conversely, a zero dot product gives that length equality, so the converse of Pythagoras establishes perpendicularity.

For (2, 3) and (3, −2), each squared length is 13. The squared distance between the tips is (2 − 3)² + (3 + 2)² = 26, which equals 13 + 13. The calculation of a zero dot product now connects to a right angle.

4. Use the three questions to distinguish displacement, number and condition

Solve the examples in order. Explain that the first asks for a displacement pair, the second for a numerical dot product, and the third for a vector satisfying perpendicularity. In the third, (2, 1) · (1, −2) = 2 × 1 + 1 × (−2) = 0. Calculate the other listed candidates too, checking that exactly one gives zero.

Return to graphs and coordinates if signs or component order are unclear. Next, use the related geometry article to reinforce reasoning from stated conditions when identifying right angles and heights.

How to practise

Check horizontal and vertical components and the operation; for a sum, add matching components.

For a dot product, multiply matching components and add, writing one number.

To test perpendicularity of two nonzero vectors, check whether their dot product is zero.

Do not assign a right angle to the zero vector

The vector (0, 0) has zero dot product with every vector, but it has no defined direction. The angle explanation used here therefore does not apply to it. Check that both vectors are nonzero before using this perpendicularity test. Opposite directions do not by themselves mean perpendicular.

Example 1

What is the vector sum (2, −1) + (−3, 4)?

Choices

(−6,−4)

(−1,−5)

(−1,3)

(5,3)

Answer: (−1,3)

Add corresponding components: (2 − 3, −1 + 4) = (−1, 3).

Example 2

What is the dot product of (1, 2) and (3, −1)?

Choices

1

5

−2

7

Answer: 1

Multiply corresponding components and add: 1 × 3 + 2 × (−1) = 1.

Example 3

Which vector is perpendicular to (2, 1)?

Choices

(−2,−1)

(1,−2)

(2,1)

(1,2)

Answer: (1,−2)

Perpendicular vectors have zero dot product. For (1, −2), the dot product is 2 × 1 + 1 × (−2) = 0. The other listed products are nonzero.

日本語

本文と例題の確認用説明

矢印を足すと座標、内積をとると数？成分から垂直を確かめよう

この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。

右へ3、上へ2進んでから、左へ1、上へ1進むと、出発点からどこまで移動したでしょう。経路を一続きの矢印で表すと、横へ2、縦へ3の移動です。ベクトルの成分は、このように向きも含めた移動量を整理する道具になります。

前提は「グラフと座標」の記事で扱う、横・縦の順序と負の数の意味です。ここでは互いに垂直で、単位の長さが同じ2本の軸を使います。成分を足す計算と、内積という1個の数を作る計算を分け、最後に垂直を判定する理由まで考えます。

1．横と縦を混ぜずに足す

ベクトル(a, b)は、横にa、縦にbだけ進む移動を表します。負の成分は、それぞれの軸の正方向と逆に進むという意味です。続けて(c, d)だけ進むと、全体の移動は(a＋c, b＋d)。出発点の座標と移動量は区別しましょう。

最初の例題では(2, −1)＋(−3, 4)を計算します。横は2−3＝−1、縦は−1＋4＝3なので、答えは(−1, 3)です。原点から始めなくても、この移動量は変わりません。

2．内積は「対応する成分の積を足した数」

平面のベクトルu＝(a, b)、v＝(c, d)の内積をu・v＝ac＋bdと定めます。足し算の答えは成分の組ですが、内積の答えは1個の数です。どちらも成分を使うので、演算の記号を先に確かめましょう。

2番目の例題では(1, 2)・(3, −1)＝1×3＋2×(−1)＝1です。横どうし、縦どうしを掛けてから足します。先ほどの移動の合計(2, 3)と、別のベクトル(3, −2)なら、内積は2×3＋3×(−2)＝0になります。

3．なぜ内積0で垂直とわかるのか

三平方の定理から、u＝(a, b)の長さの二乗はa²＋b²です。2本のベクトルを同じ始点から描くと、先端どうしの距離の二乗は(a−c)²＋(b−d)²。展開すると、uの長さの二乗＋vの長さの二乗−2(ac＋bd)になります。

どちらも零ベクトルでないとき、2本が垂直なら三平方の定理により「先端間の距離の二乗＝2本の長さの二乗の和」。上の式と比べるとac＋bd＝0です。逆に内積が0ならこの等式が成り立ち、三平方の定理の逆から垂直だとわかります。

具体例の(2, 3)と(3, −2)では、長さの二乗はどちらも13。先端間の距離の二乗は(2−3)²＋(3＋2)²＝26で、13＋13と一致します。内積0という計算と、直角という図形の条件がつながりました。

4．3問で「移動・数・条件」を言い分ける

例題を順に解き、1問目は移動量の組、2問目は内積の数値、3問目は垂直を満たすベクトルを答える問題だと言い直してみましょう。3問目の(2, 1)では、候補(1, −2)との内積が2×1＋1×(−2)＝0です。他の候補も計算して、0になるものが一つだけか確かめます。

符号や成分の順に迷ったら「グラフと座標」へ戻れます。次は関連記事「図形」で、見た目ではなく条件から直角や高さを決める考え方を確かめましょう。

取り組み方

横・縦の成分と演算の記号を確認し、和なら成分ごとに足す。

内積なら対応成分を掛けて足し、結果を1個の数で書く。

零ベクトルでない2本の垂直を調べるときは、内積が0か確かめる。

零ベクトルの内積0に、角度を読み込まない

(0, 0)はどんなベクトルとの内積も0ですが、向きが定まらないため、ここで使った「2本のなす角が直角」という説明には当てはめません。垂直の判定では、両方が零ベクトルでないことを先に確認します。逆向きの矢印も垂直とは限りません。

例題 1

ベクトル(2,−1)＋(−3,4)は？

選択肢

(−6,−4)

(−1,−5)

(−1,3)

(5,3)

正解：(−1,3)

ベクトルの成分は、各方向にどれだけ進むかを表す数です。横と縦の成分をそれぞれ足す。横は2−3＝−1、縦は−1＋4＝3で、答えは（−1、3）です。

例題 2

ベクトル(1,2)と(3,−1)の内積は？

選択肢

1

5

−2

7

正解：1

対応成分の積の和1×3＋2×(−1)。

例題 3

ベクトル(2,1)に垂直なのは？

選択肢

(−2,−1)

(1,−2)

(2,1)

(1,2)

正解：(1,−2)

内積2×1＋1×(−2)＝0。