English Explanations for checking this guide Does a taller bar mean more people? Read histogram widths and areas This companion brings together explanations included in the guide. A tall bar can make you think, “More people belong here.” But in a histogram that groups numerical values into intervals, horizontal width matters too. Comparing unequal-width bars by height alone can make equal counts look different. The prerequisite guide on mean, median and range summarizes data with representative values and spread. Here, turn to the distribution: how many observations fall in each interval? You need inequalities and the rectangle rule, area = width × height. Follow the three examples through interval meaning, boundaries and area. Below the bars are numerical intervals, not category names The first example asks what a histogram represents. Group numerical values into intervals such as “at least 10 and less than 20,” and count the observations in each. These are class intervals, and each count is a frequency. Numerical ranges run along the horizontal axis, showing where observations are concentrated. Among the choices, comparisons of totals for named categories describe the organizing principle of a categorical bar chart. Changes over time and relationships between pairs of variables serve different purposes too. Look for frequencies grouped into numerical intervals, rather than choosing only because a display has bars. Include 10, exclude 20: count a boundary only once In the second example, “at least 10 and less than 20” means 10 ≤ x < 20. It includes 10 and excludes 20. Of the other choices, 9.9 falls below the lower limit and 21 exceeds the upper limit. Only 10 meets the condition. Using the same convention for “0 up to 10,” “10 up to 20,” and “20 up to 30,” with each lower endpoint included and each upper endpoint excluded, prevents 10 or 20 from entering two intervals. The notation [10,20) also includes 10 and excludes 20. Read the stated endpoint rule rather than assuming every display uses the same one. With equal frequencies, twice the width means half the height The third example specifies that bar areas are proportional to frequencies. The intervals [0,10) and [10,30) each have frequency 10, but their widths are 10 and 20. Equal frequencies require equal areas, so the second bar must be half as tall because it is twice as wide. The first-to-second height ratio is 2:1. If the vertical axis is frequency divided by interval width, the heights are 10 ÷ 10 = 1 and 10 ÷ 20 = 0.5. This height is called frequency density. Multiplying back gives areas 10 × 1 = 10 and 20 × 0.5 = 10, matching the equal frequencies. Scaling the vertical axis by the same factor leaves the height ratio at 2:1. A 1:1 height ratio would give the wider second bar twice the area. A 1:2 ratio reverses the required height relationship, while 4:1 exaggerates it. If every interval has equal width, however, comparing heights also compares areas. Decide whether heights alone are enough only after checking widths and the vertical axis. Reconstruct width, height and area in the same example On paper, write the third example’s intervals and add “width 10, frequency 10, height 1” and “width 20, frequency 10, height 0.5.” Check that width × height gives 10 in each case. Then consider what would change if you made the second bar equally tall. Its area would change, failing to preserve the original frequency of 10. The practice button selects standard middle- and high-school questions on probability and statistics. It includes other matching questions beyond these three. When revisiting each example, explain whether your answer rests on the interval, the boundary or the area, as well as naming the answer. Continue with graph axes or counting probability outcomes The related graph-and-coordinate guide extends the habit of reading axis meanings to slopes and intercepts. In the probability basics guide, check what counts as one outcome. Reading a frequency and establishing that outcomes are equally likely each require their own check. How to practise Read whether the horizontal axis uses named categories or numerical intervals, and identify frequencies within the intervals. Read endpoint words and brackets so a boundary value is not counted twice. When areas are proportional to frequencies, compare width × height; do not compare unequal-width bars by height alone. A height of 1 need not mean one person On a frequency-density axis, height is frequency divided by interval width. In the third example, a height of 1 corresponds to frequency 10. Check the vertical axis and interval width before translating a height back into a count. Example 1 What does a histogram primarily represent? Choices Changes in numerical values over time Comparisons of totals for named categories Relationships shown as pairs of numerical values Frequencies of numerical values grouped into intervals Answer: Frequencies of numerical values grouped into intervals A class interval is a numerical range such as 10 up to, but not including, 20. Its frequency counts the observations in that range, unlike category labels in a bar chart. A histogram groups numerical observations into intervals and displays their frequency distribution. Adjacent bars correspond to adjacent numerical intervals. A time-series display shows change over time, while a scatter plot shows paired variables. Neither is the interval frequency distribution described here. Example 2 Which value belongs to the interval 'at least 10 and less than 20'? Choices 10 20 9.9 21 Answer: 10 The lower boundary is included and the upper boundary is excluded. Thus 10 belongs, while 20, 9.9 and 21 do not. Example 3 In a histogram, bar areas are proportional to frequencies. Intervals [0, 10) and [10, 30) each have frequency 10. What is the first bar's height divided by the second bar's height? Choices 4：1 2：1 1：1 1：2 Answer: 2：1 Height is proportional to frequency divided by interval width. The heights are proportional to 10/10 = 1 and 10/20 = 1/2, so their ratio is 2:1. 日本語 本文と例題の確認用説明 高い棒ほど人数が多い？ヒストグラムの幅と面積を読む この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。 グラフの高い棒を見ると、「こちらの方が人数が多い」と考えたくなります。けれども、数値を区間に分けたヒストグラムでは、棒の横幅にも意味があります。幅の違う棒を高さだけで比べると、同じ人数を違う人数だと読んでしまうことがあります。 前提記事「平均値・中央値・範囲」では、データを代表値や広がりで要約しました。ここでは、どの区間にいくつ入るかという分布へ目を移します。必要なのは不等号の読み方と、長方形の面積＝横幅×高さ。3つの例題を、区間の意味、境界、面積の順にたどりましょう。 棒の下にあるのは、分類名ではなく数値の区間 最初の例題は、ヒストグラムが何を表すかを尋ねます。数値を「10以上20未満」のような区間に分け、それぞれに入るデータの個数を数えます。この区間を階級、個数を度数と呼びます。横方向には数量の範囲が並び、どの辺りにデータが集まるかを見ます。 選択肢のうち、分類名ごとの数量の比較は、カテゴリを分ける棒グラフの考え方です。時間順の変化や、二つの数量の組を点で示す関係も、今回の目的とは違います。棒があるという見た目だけで選ばず、「数値の区間ごとの度数」を探すと答えを絞れます。 10は入るが20は入らない――境界を一度だけ数える 2つ目の例題の「10以上20未満」は、10≦x＜20です。10は入り、20は入りません。ほかの選択肢の9.9は下限より小さく、21は上限を超えています。この条件に合うのは10だけです。 同じ決め方で「0以上10未満」「10以上20未満」「20以上30未満」と並べると、境界の10や20が二つの区間へ重複して入りません。[10,20)という書き方も、左の10を含み、右の20を含まない区間を表します。境界の含め方は表示された条件を読み、いつでも同じと決めつけないようにします。 同じ度数でも、幅が2倍なら高さは半分 3つ目の例題には「面積が度数に比例する」という条件があります。区間[0,10)と[10,30)は、どちらも度数10ですが、幅はそれぞれ10と20です。同じ度数なら同じ面積になるので、後の棒は幅が2倍の分、高さを半分にします。高さの比は前：後＝2：1です。 縦軸を「度数÷区間の幅」として描くと、高さは10÷10＝1と10÷20＝0.5です。この高さを度数密度と呼びます。面積を戻すと10×1＝10、20×0.5＝10で、同じ度数になります。縦軸の目盛りを同じ倍率で変えても、高さの比2：1は変わりません。 1：1では、幅の広い後の棒の面積が2倍になってしまいます。1：2は必要な高さの大小が逆、4：1は高さの差を大きくしすぎます。なお、すべての区間幅が等しければ、高さと面積の大小は一致します。「高さで比べてよいか」は、幅と縦軸の意味を確認してから判断しましょう。 幅・高さ・面積を、同じ例題で確かめる 紙に3つ目の例題の区間を書き、その下に「幅10、度数10、高さ1」「幅20、度数10、高さ0.5」と添えてみましょう。どちらも幅×高さが10になることを確かめてから、後の棒を同じ高さにしたら何が変わるか考えます。変わるのは面積であり、もとの度数10を保てなくなるのが問題です。 練習ボタンでは、中学校・高校の標準問題から「確率・統計」を選びます。この3問以外の該当問題も含まれます。例題を見直すときは、答えだけでなく「区間」「境界」「面積」のどれが判断の根拠だったかを一言添えましょう。 次は、グラフの軸や確率の数え方へ 関連記事「グラフと座標」では、軸の意味を確認する習慣を、傾きや切片へ広げられます。「確率のキホン」へ進むときは、今度は何を一つの結果として数えるかを確かめましょう。度数を読むことと、結果が同じ確率で起きると判断することは、それぞれ別の確認が必要です。 取り組み方 横軸が分類名なのか数値の区間なのかを読み、区間ごとの度数を確かめる。 「以上」「未満」や括弧を読み、境界の値を重複して数えない。 面積が度数に比例するなら、幅×高さで比べ、幅が違う棒を高さだけで判断しない。 「高さ1」は「1人」とは限らない 縦軸が度数密度なら、高さは度数を区間の幅で割った値です。3つ目の例題では高さ1でも度数は10。縦軸の名前と区間幅を確認してから、人数や個数へ読み戻しましょう。 例題 1 ヒストグラムが主に表すのは？ 選択肢 時間順に並べた数量の変化 分類名ごとにまとめた数量の比較 二つの数量の組を点で表した関係 数量を階級に分けた度数の分布 正解：数量を階級に分けた度数の分布 階級は「10以上20未満」のような数値の区間、度数はその区間に入るデータの個数です。分類名ごとの棒グラフとは区別します。連続量などを区間に分けて分布を示す。棒の隣接に区間の意味がある。 時間順の変化を見る表示や、二つの数量を組にした散布図とも異なります。 例題 2 階級「10以上20未満」に入る値は？ 選択肢 10 20 9.9 21 正解：10 「以上」は境界を含み、「未満」は境界を含まない。 例題 3 面積が度数に比例するヒストグラム。階級[0,10)と[10,30)の度数がともに10。棒の高さの比（前：後）は？ 選択肢 4：1 2：1 1：1 1：2 正解：2：1 このヒストグラムでは面積が度数を表すので、高さは度数を階級の幅で割ります。前の高さは10/10＝1、後は10/20＝1/2で、高さの比は2：1です。後の階級は幅が二倍なので、同じ度数を表す面積にするには高さを半分にします。度数が同じだから高さも同じとは限りません。