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Explanations for checking this guide

Starting below zero: separate position, displacement and distance on a number line

This companion brings together explanations included in the guide.

Start at −3 on a number line and move 8 units right: you finish at 5. The starting position is −3, the displacement is +8, and the finishing position is 5. Signs can describe position or direction. They do not make the length you walked negative.

After naming the quantities in Everyday calculations, give these quantities the names position, displacement and distance. On paper, mark zero and equally spaced ticks on one straight number line, with numbers increasing to the right. Use three integer examples to check the different jobs a minus sign can do.

1. The number you add describes a directed movement

The first example is −7 + 12. Mark −7 and move 12 units right. Seven units bring you to zero; the remaining five bring you to 5. In symbols, −7 + (7 + 5) = (−7 + 7) + 5 = 5.

A negative term does not force a negative answer. Absolute value is distance from zero: |−7| = 7 and |12| = 12. When adding two numbers of opposite signs as here, movements in opposite directions cancel. Subtract the smaller absolute value, 7, from 12 and keep the positive sign belonging to 12, giving 5.

The option −5 has the wrong sign. The options 19 and −19 count the opposing movements as though they went the same way. Check the starting point too: move 12 units back from the answer 5 and you reach −7.

2. Subtracting a negative undoes a movement

The second example is −4 − (−9). The first minus belongs to the starting position −4. The middle minus is the subtraction operation. The minus inside the parentheses belongs to the number being subtracted, −9. Read those roles separately.

The answer to a − b is the number that returns to a when you add b. Here, adding −9 to the answer should give −4. Since 5 + (−9) = −4, the answer is 5. Undoing a movement of 9 units left requires a movement of 9 units right. That is why −4 − (−9) = −4 + 9.

For the other options, adding −9 to −5 gives −14, adding it to −13 gives −22, and adding it to 13 gives 4. None returns to −4. Using the opening numbers, −3 − (−8) = −3 + 8 = 5 works the same way. Check what you must add back rather than memorizing a visual instruction to erase two minus signs.

3. Distance between two points has no directional sign

The third example asks for the distance between −6 and 2. There are six unit intervals from −6 to zero and two from zero to 2, so the distance is 6 + 2 = 8. The spacing of −6, 0 and 2 in the diagram matches this count. The option 4 incorrectly subtracts the magnitudes despite the points lying on opposite sides of zero. The options −8 and −4 cannot be distances.

The displacement from −6 to 2 is 2 − (−6) = +8. In reverse it is −6 − 2 = −8. Displacement changes sign, but the distance is 8 in either direction. In general, the distance between a and b is |b − a|, the absolute value of their difference. Distance is nonnegative and is zero only when the two points coincide.

A minus sign does not mean you should always add absolute values. Both −6 and −2 lie to the left of zero, and their distance is |−2 − (−6)| = 4. Also distinguish the total length of a walk that turns back from the distance between its starting and finishing points.

4. Name the answer before moving on to coordinates

When you retry the three questions, make separate notes for the starting point and added displacement, the subtraction check by adding back, and the distance between two points. The first two answers are both 5, but the operations are read differently. In the third question, 8 describes a distance, not a position.

Return to Everyday calculations if you need practice naming what a number counts. Next, read Graphs and coordinates to extend the idea of position into horizontal and vertical directions. This article uses one line; coordinates also require you to name the axis a position belongs to.

How to practise

Mark zero and the starting point on an equally spaced number line, with right positive and left negative.

Identify whether an addition or subtraction result describes a position or displacement; check subtraction by adding back.

For distance between two points, take the absolute difference and check that reversing direction gives the same distance.

A negative position is not a negative distance

−6 is a position to the left of zero. Its distance from zero is 6, not −6. Before calculating, decide whether the question asks for a signed position or displacement, or for a length with direction removed.

Example 1

What is −7 + 12?

Choices

5

−5

19

−19

Answer: 5

Absolute value means distance from zero on the number line. Starting at −7 and moving 12 units to the right gives 5. For opposite signs, subtract the smaller absolute value from the larger.

Example 2

What is −4 − (−9)?

Choices

−5

5

−13

13

Answer: 5

Subtracting a negative is adding its opposite: −4 + 9 = 5.

Example 3

What is the distance between −6 and 2 on a number line?

Choices

4

−8

−4

8

Answer: 8

Distance is the absolute difference. |2 − (−6)| = |8| = 8, so it cannot be negative.

Figure description: A number line marks −6, 0 and 2. The two points in the question are −6 and 2.

View the figure and example in the guide: https://irodonia.com/en/quiz/topics/math-signed-number-line/#examples-heading

日本語

本文と例題の確認用説明

マイナスの場所から右へ進む？数直線で「位置・移動・距離」を分けよう

この記事に掲載している説明をまとめた確認用の補足です。

数直線の−3から右へ8進むと、着く場所は5です。このとき「最初の位置は−3」「移動は＋8」「着いた位置は5」。数字の前の符号は、位置や向きを表します。歩いた長さがマイナスになるわけではありません。

「暮らしの計算」で数字が表すものを言葉にしたら、今度は位置・移動・距離という名前を付けてみましょう。紙に0を置き、等間隔に目盛りを振り、右へ行くほど数が大きくなる一本の数直線を描きます。整数を使う3例題で、負号の役割を確かめます。

1．足す数は、出発点からの「向きつき移動」

第1例題は−7＋12です。−7の位置に印を付け、12目盛りだけ右へ進みます。まず7進むと0、残る5を進むと5。式でも−7＋（7＋5）＝（−7＋7）＋5＝5と確かめられます。

「負の数があるから答えも負」とは限りません。絶対値は0からその数までの距離で、|−7|＝7、|12|＝12です。今回のように符号が異なる2数を足すと、逆向きの移動が打ち消し合います。大きい絶対値12から7を引き、その12の側の正符号を付けて5となります。

選択肢の−5は符号が逆、19と−19は反対向きの分まで同じ向きに足しています。答え5から12戻って−7に着くかを確かめれば、出発点とのつながりも確認できます。

2．負の数を引く理由は、元へ戻す操作で考える

第2例題は−4−（−9）です。最初の−は−4という位置、真ん中の−は引き算、括弧の中の−は引く数−9の符号です。まず役割を分けて読みましょう。

「a−bの答え」は、「bを足すとaに戻る数」です。今回なら、答えに−9を足すと−4になるはず。5＋（−9）＝−4なので、答えは5です。−9を足す左向き9の動きを取り消すには、右向き9の動きが必要です。だから−4−（−9）＝−4＋9となります。

選択肢−5に−9を足すと−14、−13なら−22、13なら4となり、どれも−4に戻りません。導入の数を使えば−3−（−8）＝−3＋8＝5も同じ仕組みです。「負号を2つ消す」と見た目で覚えるより、何を足し戻すかを確かめましょう。

3．2点間の距離には、右向き・左向きの符号を付けない

第3例題は−6と2の距離です。−6から0まで6目盛り、0から2まで2目盛りなので、距離は6＋2＝8。図の−6、0、2の間隔もこの数え方に対応しています。選択肢の4は0を挟んでいるのに絶対値を引いてしまったもの。−8と−4は距離に負号を付けているため選べません。

−6から2への移動は2−（−6）＝＋8、逆の移動は−6−2＝−8です。向きつきの移動は逆になりますが、どちらから測っても距離は8。一般には2点a、bの距離を|b−a|と書き、差の絶対値を取ります。距離は0以上で、2点が同じときだけ0です。

ただし、負号が見えたらいつも絶対値を足せばよいわけではありません。−6と−2は両方とも0の左側にあり、距離は|−2−（−6）|＝4です。また、途中で折り返した散歩の全行程と、出発点・到着点の2点間距離も区別しましょう。

4．答えに名前を付けてから、次の座標へ

3問を解き直すときは、①出発点と足す移動、②引いた数を足し戻す検算、③2点間の距離、と紙に書き分けます。第1問は5、第2問も5ですが、演算の読み方は異なります。第3問の8は位置ではなく距離です。

前提の「暮らしの計算」へ戻ると、数字が何を数えるかを確認できます。次は「グラフと座標」で、横と縦の2方向にこの位置の考え方を広げましょう。今回は一本の線でしたが、座標ではどの軸の位置なのかという名前も必要になります。

取り組み方

等間隔の数直線に0と出発点を置き、右を正・左を負と決める。

加減の答えが位置なのか、移動なのかを読み、引き算は足し戻して検算する。

2点間の距離なら差の絶対値を取り、逆向きに測っても同じかを確かめる。

負の位置と、負の距離を混同しない

−6は0より左にある位置です。0からの距離は6で、−6ではありません。2点間の距離を求める前に、符号付きの位置や移動を求めているのか、向きを除いた長さを求めているのかを確かめましょう。

例題 1

−7＋12は？

選択肢

5

−5

19

−19

正解：5

絶対値は、数直線で零からその数までの距離です。異符号の和は絶対値の差。大きい12側の正符号になる。したがって12−7＝5です。

例題 2

−4−（−9）は？

選択肢

−5

5

−13

13

正解：5

負数を引くことはその正の数を足すことと同じ。

例題 3

数直線で−6と2の距離は？

選択肢

4

−8

−4

8

正解：8

絶対値で表した距離は零以上になり、向きを表す負号は付きません。距離は差の絶対値で、2−（−6）＝8。

図の説明：数直線上に−6、0、2の位置を示しています。−6と2が問題の二点です。

図と例題を記事で確認：https://irodonia.com/ja/quiz/topics/math-signed-number-line/#examples-heading